Problema 153

De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 cm², determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.


Solución:

La magnitud a optimizar es la longitud de la hipotenusa a. Esta longitud depende de las longitudes de los catetos según el Teorema de Pitágoras:

p153

a(b,c)=\sqrt{b^2+c^2}

Utilizamos el dato del área para reducir una de las variables. Para ello aprovechamos el dato del área. El área S de un triángulo rectángulo es:

\displaystyle S=\frac{b\cdot c}2=8\\\\b\cdot c=16\\\\b=\frac{16}c

Sustituimos en la función a optimizar:

\displaystyle a(c)=\sqrt{\left(\frac{16}c\right)^2+c^2}=\sqrt{\frac{256}{c^2}+c^2}=\sqrt{\frac{256+c^4}{c^2}}

Calculamos los puntos críticos de esta función:

\displaystyle a'(c)=\frac 1{2\sqrt{\frac{256+c^4}{c^2}}}\frac{4c^3\cdot c^2-(256+c^4)2c}{c^4}=\\\\=\frac{4c^5-512c-2c^5}{2c^4\sqrt{\frac{256+c^4}{c^2}}}=\frac{2c^5-512c}{2c^4\sqrt{\frac{256+c^4}{c^2}}}=0\\\\2c^5-512c=0\\\\2c(c^4-256)=0

Las soluciones de esta ecuación son: c=0 y c=\sqrt[4]{256}=4. La solución al problema sería c=4 cm, y descartamos c=0 porque en ese caso no está definida la función a(c).

El valor del otro cateto sería \displaystyle b=\frac{16}4=4 cm.

Por último, comprobemos que en c=4, la función a(c) alcanza un mínimo. Para ello, en lugar de utilizar el test de la derivada segunda en c=4, lo que haremos será estudiar la monotonía de a(c) en el entorno próximo a c=4:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline &(0,4)&(4,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }a'(c)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia a(c)}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Luego, en c=4 la función a(c) alcanza un mínimo.

Observamos que el triángulo rectángulo de área determinada que minimiza la longitud de la hipotenusa es un triángulo isósceles.

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