Problema 154

Calcula \displaystyle \int\frac{dx}{2x(x+\sqrt x)}. (Sugerencia: cambio de variable t=\sqrt x).


Solución:

Utilizamos el cambio de variable sugerido:

\displaystyle t=\sqrt x\\\\x=t^2\longrightarrow dx=2t~dt

\displaystyle \int\frac{dx}{2x(x+\sqrt x)}=\int\frac{2t~dt}{2t^2(t^2+t)}=\int\frac 1{t^2(t+1)}~dt

Se trata de una integral racional con raíces reales simples y múltiples. Hacemos la siguiente descomposición de la fracción:

\displaystyle \frac 1{t^2(t+1)}=\frac At+\frac B{t^2}+\frac C{t+1}=\frac{At(t+1)+B(t+1)+Ct^2}{t^2(t+1)}

Como el primer y último denominadores son iguales, también lo son sus numeradores:

1=At(t+1)+B(t+1)+Ct^2

Tomando valores arbitrarios para t obtendremos el valor de los coeficientes A, B y C:

t=0\longrightarrow 1=B\\\\t=-1\longrightarrow 1=C\\\\t=1\longrightarrow 1=2A+2B+C

Del sistema formado por estas tres ecuaciones se obtiene que A=-1, B=1 y C=1. Por tanto, la integral sería:

\displaystyle \int\frac 1{t^2(t+1)}~dt=\int\frac{-1}t~dt+\int\frac 1{t^2}~dt+\int\frac 1{t+1}~dt=\\\\=-\ln|t|+\frac{t^{-1}}{-1}+\ln|t+1|=\ln\left|\frac{t+1}t\right|-\frac 1t

Deshaciendo el cambio de variable:

\displaystyle \int\frac{dx}{2x(x+\sqrt x)}=\ln\left(\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x}\right)-\frac 1{\sqrt x}+k

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