Problema 155

Sabiendo que el determinante de la matriz A=\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix} es 3, halla los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

\mbox{a) }|A^3|,~|A^{-1}|,~|A+A^t| (donde A^t indica la transpuesta de A).

\mbox{b) }\begin{vmatrix}a&b&c\\c&e&f\\2b&2d&2e\end{vmatrix}.

\mbox{c) }\begin{vmatrix}a&b&4a-c\\b&d&4b-e\\c&e&4c-f\end{vmatrix}.


Solución:

Para resolver este ejercicio utilizaremos las propiedades de los determinantes:

\displaystyle\mbox{a) }|A^3|\overset{P.3}=|A|^3=3^3=27\\\\|A^{-1}|\overset{P.4}=\frac 1{|A|}=\frac 13

Para hacer el determinante de A+A^t hemos de subrayar que A es una matriz simétrica, es decir, A=A^t. Por tanto, si A es simétrica, entonces:

A+A^t=2A\\\\|A+A^t|=|2A|\overset{P.6}=2^3|A|=8\cdot 3=24


\mbox{b) }\begin{vmatrix}a&b&c\\c&e&f\\2b&2d&2e\end{vmatrix}\overset{P.6}=2\begin{vmatrix}a&b&c\\c&e&f\\b&d&e\end{vmatrix}\overset{P.5}=-2\begin{vmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{vmatrix}=-2\cdot 3=-6


\mbox{c) }\begin{vmatrix}a&b&4a-c\\b&d&4b-e\\c&e&4c-f\end{vmatrix}\overset{P.7}=\begin{vmatrix}a&b&4a\\b&d&4b\\c&e&4c\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&b&-c\\b&d&-e\\c&e&-f\end{vmatrix}=\\\\\overset{P.1}=0+\begin{vmatrix}a&b&-c\\b&d&-e\\c&e&-f\end{vmatrix}\overset{P.6}=-\begin{vmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{vmatrix}=-3

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