Problema 156

Sea r la recta definida por \left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=1+\lambda\\z=\lambda\end{array}\right. y s la recta dada por \displaystyle \frac{x-1}{-2}=\frac y1=\frac{z-1}{-2}.

a)Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s.

b) Calcula la distancia entre r y s.


Solución:

a) Nos piden la recta t que corta perpendicularmente a las dos rectas r y s.

Dados los vectores directores de las dos rectas \vec v_r=(1,1,1) y \vec v_s=(-2,1,-2), definimos el vector perpendicular común \vec v_t:

\vec v_t=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&1\\-2&1&-2\end{vmatrix}=-3\vec\imath+3\vec k=(-3,0,3)

A continuación construimos dos planos: el plano \pi_r que contiene a r y es perpendicular a s:

\pi_r\equiv\begin{vmatrix}x-1&y-1&z\\1&1&1\\-3&0&3\end{vmatrix}=3(x-1)-3(y-1)+3z-3(y-1)=\\\\=3(x-1-y+1+z-y+1)=3(x-2y+z+1)=0\\\\\pi_r\equiv x-2y+z+1=0

y el plano \pi_s que contiene a s y es perpendicular a r:

\pi_s\equiv\begin{vmatrix}x-1&y&z-1\\-2&1&-2\\-3&0&3\end{vmatrix}=3(x-1)+6y+3(z-1)+6y=\\\\=3(x-1+4y+z-1)=3(x+4y+z-2)=0\\\\\pi_s\equiv x+4y+z-2=0

La intersección de estos dos planos es la recta perpendicular común buscada:

t=\pi_r\cap\pi_s\equiv\left\{\begin{array}{l}x-2y+z+1=0\\x+4y+z-2=0\end{array}\right.


b) Observamos que \vec v_r y \vec v_s no son paralelos ya que:

\displaystyle \frac 1{-2}\neq\frac 11\neq\frac 1{-2}

La fórmula de la distancia entre dos rectas r y s que no son paralelas es:

\displaystyle \boxed{d(r,s)=\frac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}

donde \overrightarrow{P_rP_s} es el vector que une un punto cualquiera de la recta r con un punto cualquiera de la recta s.

\overrightarrow{P_rP_s}=(1,0,1)-(1,1,0)=(0,-1,1)

[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]=\begin{vmatrix}1&1&1\\-2&1&-2\\0&-1&1\end{vmatrix}=1+2-2+2=3

\vec v_r\times\vec v_s=(-3,0,3)\\\\|\vec v_r\times\vec v_s|=\sqrt{(-3)^2+0^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt 2

Por tanto, la distancia buscada es:

\displaystyle d(r,s)=\frac{3}{3\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}2\mbox{ u.l.}

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