Problema 157

Sea f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función derivable definida por

f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}a-x&\mbox{si}&x\leq 1\\\frac bx+\ln x&\mbox{si}&x>1\end{array}\right.

donde ln denota logaritmo neperiano.

a) Calcula a y b.

b) Para a=3 y b=2 calcula los extremos absolutos de f en el intervalo [0,e] (Abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).


Solución:

a) Esta función es derivable en todo su dominio, en particular en x=1. Por tanto, en x=1 la función f es continua.

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^+}\frac bx+\ln x=b
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}a-x=a-1
  • \displaystyle f(1)=a-1

Para que f sea continua en x=1, ha de ser b=a-1.

Por otra parte, dado que

f'(x)=\left\{\begin{array}{lcc}-1&\mbox{si}&x<1\\\frac{-b}{x^2}+\frac 1x&\mbox{si}&x>1\end{array}\right.

entonces, para que f sea derivable en x=1, deberá ser

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{-b}{x^2}+\frac 1x=-b+1
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}-1=-1

de donde, -b+1=-1.

Por tanto, para que la función f sea derivable en x=1, ha de cumplirse:

\left\{\begin{array}{l}b=a-1\\-b+1=-1\end{array}\right.

sistema cuya solución es: b=2 y a=3.


b) Para obtener los extremos de una función derivable, solo hemos de encontrar sus puntos críticos: f'(x)=0. Dado que

f'(x)=\left\{\begin{array}{lcc}-1&\mbox{si}&x<1\\\frac{-2}{x^2}+\frac 1x&\mbox{si}&x>1\end{array}\right.

\displaystyle -1=0!!!\\\\\frac{-2}{x^2}+\frac 1x=0\rightarrow\frac 1x=\frac 2{x^2}\rightarrow x^2=2x\rightarrow x(x-2)=0

Ecuación esta última válida para x>1, y cuyas soluciones son x=0 y x=2. La solución x=0 queda, por tanto, descartada.

Podemos ahora estudiar la monotonía en el intervalo dado para determinar los extremos:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline &(0,2)&(2,e)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Observamos que en x=2 tenemos un mínimo absoluto en el intervalo dado, y su valor es f(2)=1+\ln 2. Para obtener el máximo, evaluamos la función f en los extremos del intervalo:

\displaystyle f(0)=3-0=3\\\\f(e)=\frac 2e+1

Tenemos que f(0)>f(e), por tanto, el máximo absoluto se alcanza en x=0 con un valor de f(0)=3.

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