Sea la función definida por
.
a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0.
b) Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,0).
Solución:
a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto es:
En nuestro caso, , por tanto:
Ya podemos escribir la ecuación de la recta tangente:
b) Llamamos I a la integral que pretendemos calcular:
Esta integral la resolvemos por el método de integración por partes:
Esta última integral resultante, también la resolvemos utilizando el método de integración por partes:
Luego
Observamos que como resultado obtenemos la integral de partida. Esto es propio de las llamadas integrales cíclicas. Para resolver esta integral cíclica, simplemente tenemos que despejar dicha integral:
Por último, sabemos que el valor de esta integral es 0 cuando x=0:
Por tanto, la primitiva buscada es:
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