Problema 158

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II

Sea f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=e^x\cos(x).

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0.

b) Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,0).

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso, x_0=0, por tanto:

f(0)=e^0\cos(0)=1\\\\f'(x)=e^x\cos(x)-e^x\,\mbox{sen}(x)\\\\f'(0)=1-0=1

Ya podemos escribir la ecuación de la recta tangente:

y-1=1(x-0)\\\\y=x+1

b) Llamamos I a la integral que pretendemos calcular:

\displaystyle I=\int e^x\cos(x)~dx

Esta integral la resolvemos por el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=\cos(x)&\longrightarrow&du=-\mbox{sen}(x)~dx\\dv=e^x~dx&\longrightarrow&v=e^x\end{array}

\displaystyle I=\int e^x\cos(x)~dx=e^x\cos(x)-\int -\mbox{sen}(x)e^x~dx=e^x\cos(x)+\int e^x\,\mbox{sen}(x)~dx

Esta última integral resultante, también la resolvemos utilizando el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=\,\mbox{sen}(x)&\longrightarrow&du=\cos(x)~dx\\dv=e^x~dx&\longrightarrow&v=e^x\end{array}

Luego

\displaystyle I=e^x\cos(x)+\int e^x\,\mbox{sen}(x)~dx=e^x\cos(x)+e^x\,\mbox{sen}(x)-\int e^x\cos(x)~dx

Observamos que como resultado obtenemos la integral de partida. Esto es propio de las llamadas integrales cíclicas. Para resolver esta integral cíclica, simplemente tenemos que despejar dicha integral:

\displaystyle I=e^x\cos(x)+e^x\,\mbox{sen}(x)-I\\\\2I=e^x\cos(x)+e^x\,\mbox{sen}(x)\\\\I=\frac{e^x\cos(x)+e^x\,\mbox{sen}(x)}2+k

Por último, sabemos que el valor de esta integral es 0 cuando x=0:

\displaystyle I(0)=\frac{e^0\cos(0)+e^0\,\mbox{sen}(0)}2+k=\frac 12+k=0\\\\k=-\frac 12

Por tanto, la primitiva buscada es:

\displaystyle I=\frac{e^x\cos(x)+e^x\,\mbox{sen}(x)}2-\frac 12

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