Problema 159

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccccccc}mx&-&2y&+&z&=&1\\x&-&2my&+&z&=&-2\\x&-&2y&+&mz&=&1\end{array}\right.

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Si es posible, resuelve el sistema para m=-2.


Solución:

a) Para discutir sistemas de ecuaciones lineales utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Definimos la matriz de coeficientes:

M=\begin{pmatrix}m&-2&1\\1&-2m&1\\1&-2&m\end{pmatrix}

El rango de esta matriz depende de los valores de m.

\begin{vmatrix}m&-2&1\\1&-2m&1\\1&-2&m\end{vmatrix}=-2m^3-2-2+2m+2m+2m=-2m^3+6m-4

Las raíces de este determinante son (utilizando el método de Ruffini) m=1 y m=-2. Por tanto:

  • Si m≠1 y m≠-2 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, teniendo un sistema compatible determinado.
  • Si m=1, M=\begin{pmatrix}1&-2&1\\1&-2&1\\1&-2&1\end{pmatrix} y su rango es 1 ya que las dos últimas filas son proporcionales a la primera (solo tiene una fila linealmente independiente). Veamos el rango de la matriz ampliada:

M^*=\begin{pmatrix}1&-2&1&1\\1&-2&1&-2\\1&-2&1&1\end{pmatrix}

El rango de M* es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}=-3\neq0. Tenemos en este caso un sistema incompatible.

  • Si m=-2, M=\begin{pmatrix}-2&-2&1\\1&4&1\\1&-2&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-2&1\\4&1\end{vmatrix}=-6\neq0.

Veamos el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}-2&1&1\\4&1&-2\\-2&-2&1\end{vmatrix}=-2+4-8+2-4+8=0

Por tanto, el rango de M* es también 2, teniendo así un sistema compatible indeterminado.


b) Para m=-2 el sistema es de rango 2 y es equivalente al siguiente:

\left\{\begin{array}{ccccccc}-2x&-&2y&+&z&=&1\\x&+&4y&+&z&=&-2\end{array}\right.

Para resolverlo hacemos el cambio x=λ:

\left\{\begin{array}{cccccc}-&2y&+&z&=&1+2\lambda\\&4y&+&z&=&-2-\lambda\end{array}\right.

Obtenemos el resto de variables utilizando la regla de Cramer:

x=\lambda

\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix}1+2\lambda&1\\-2-\lambda&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-2&1\\4&1\end{vmatrix}}=\frac{1+2\lambda+2+\lambda}{-6}=\frac{3+3\lambda}{-6}=\frac{-1-\lambda}2

\displaystyle z=\frac{\begin{vmatrix}-2&1+2\lambda\\4&-2-\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-2&1\\4&1\end{vmatrix}}=\frac{4+2\lambda-4-8\lambda}{-6}=\frac{-6\lambda}{-6}=\lambda

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