Problema 160

Considera el plano π de ecuación 2x+y-z+2=0, y la recta r de ecuación

\displaystyle \frac{x-5}{-2}=y=\frac{z-6}{-3}

a) Determina la posición relativa de π y r.

b) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es perpendicular a π.

c) Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a π que contiene a r.


Solución:

a) El vector normal del plano es \vec n_\pi=(2,1,-1) y el vector director de la recta \vec v_r=(-2,1,-3). Veamos si ambos vectores son perpendiculares:

\vec n_\pi\cdot\vec v_r=-4+1+3=0

Acabamos de demostrar que ambos vectores son perpendiculares, luego recta y plano pueden ser o bien paralelos o bien la recta está contenida en el plano. Si es cierto el segundo caso, un punto cualquiera de la recta debería estar contenido en el plano. En caso contrario, recta y plano son paralelos.

Tomamos el punto de la recta P_r=(5,0,6)

2\cdot 5+0-6+2=10-6+2=6\neq0

Por tanto, recta y plano son paralelos.


b) El plano α que piden estará formado por P_r,\,\vec v_r y \vec n_\pi:

\begin{vmatrix}x-5&y&z-6\\-2&1&-3\\2&1&-1\end{vmatrix}=-(x-5)-6y-2(z-6)-2(z-6)-2y+3(x-5)=2(x-5)-8y-4(z-6)=0

Simplificando el resultado:

x-5-4y-2(z-6)=0\\x-5-4y-2z+12=0\\\\\alpha\equiv x-4y-2z+7=0


c) El plano β paralelo a π es:

2x+y-z+D=0

Solo queda hacer que este plano pase por P_r:

2\cdot 5+0-6+D=0\\\\10-6+D=0\\\\D=-4

Luego el plano buscado es:

\beta\equiv 2x+y-z-4=0

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