Problema 161

Sabiendo que \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac x{x-1}-\frac a{\ln x}\right) es finito, calcular a y el valor del límite (ln denota logaritmo neperiano).


Solución:

Comenzamos por calcular el límite:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac x{x-1}-\frac a{\ln x}\right)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x\ln x-a(x-1)}{(x-1)\ln x}=\frac 00

indeterminación que resolvemos utilizando la regla de L´Hôpital:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x\ln x-a(x-1)}{(x-1)\ln x}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x+x\cdot \frac 1x-a}{\ln x+(x-1)\cdot \frac 1x}=\frac{1-a}0

Para que este límite no sea infinito en principio, ha de ser 1-a=0, de donde a=1. Siendo así:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x+x\cdot \frac 1x-1}{\ln x+(x-1)\cdot \frac 1x}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{\ln x+(x-1)\cdot \frac 1x}=\frac 00=\\\\\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac 1x}{\frac 1x+\frac 1x+(x-1)\frac{-1}{x^2}}=\frac 12

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