Problema 162

Determina una función derivable f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R sabiendo que f(1)=-1 y que

f'(x)=\left\{\begin{array}{lcc}x^2-2x&\mbox{si}&x<0\\e^x-1&\mbox{si}&x\geq0\end{array}\right.


Solución:

Para obtener una función a partir de su derivada, debemos integrar esta:

\displaystyle \int x^2-2x~dx=\frac{x^3}3-\frac{2x^2}2+k_1=\frac{x^3}3-x^2+k_1

\displaystyle\int e^x-1~dx=e^x-x+k_2

Luego la función f se excribe:

f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}\frac{x^3}3-x^2+k_1&\mbox{si}&x<0\\e^x-x+k_2&\mbox{si}&x\geq0\end{array}\right.

Como f es derivable, entonces es continua en x=0, por tanto:

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}e^x-x+k_2=1+k_2
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{x^3}3-x^2+k_1=k_1
  • f(0)=e^0-0+k_2=1+k_2

Por tanto, ha de ser 1+k_2=k_1.

Por otra parte, dice el enunciado que f(1)=-1:

f(1)=e^1-1+k_2=-1\\\\k_2=-e

Entonces,

1+k_2=k_1\\\\k_1=1-e

y la función f(x) buscada es:

f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}\frac{x^3}3-x^2+1-e&\mbox{si}&x<0\\e^x-x-e&\mbox{si}&x\geq0\end{array}\right.

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