Problema 162

Determina una función derivable $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ sabiendo que f(1)=-1 y que

$f'(x)=\left\{\begin{array}{lcc}x^2-2x&\mbox{si}&x<0\\e^x-1&\mbox{si}&x\geq0\end{array}\right.$

Solución:

Para obtener una función a partir de su derivada, debemos integrar esta:

$\displaystyle \int x^2-2x~dx=\frac{x^3}3-\frac{2x^2}2+k_1=\frac{x^3}3-x^2+k_1$

$\displaystyle\int e^x-1~dx=e^x-x+k_2$

Luego la función f se excribe:

$f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}\frac{x^3}3-x^2+k_1&\mbox{si}&x<0\\e^x-x+k_2&\mbox{si}&x\geq0\end{array}\right.$

Como f es derivable, entonces es continua en x=0, por tanto:

Por tanto, ha de ser $1+k_2=k_1$ .

Por otra parte, dice el enunciado que f(1)=-1:

$f(1)=e^1-1+k_2=-1\\\\k_2=-e$

Entonces,

$1+k_2=k_1\\\\k_1=1-e$

y la función f(x) buscada es:

$f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}\frac{x^3}3-x^2+1-e&\mbox{si}&x<0\\e^x-x-e&\mbox{si}&x\geq0\end{array}\right.$

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