Problema 164

Considera los vectores \vec u=(1,-1,3),\,\vec v=(1,0,-1) y \vec w=(\lambda,1,0).

a) Calcula los valores de λ que hacen que \vec u y \vec w sean ortogonales.

b) Calcula los valores de λ que hacen que \vec u,\,\vec v\mbox{ y }\vec w sean linealmente independientes.

c) Para λ=1 escribe el vector \vec r=(3,0,2) como combinación lineal de \vec u,\,\vec v\mbox{ y }\vec w.


Solución:

a) Si \vec u y \vec w son ortogonales, entonces \vec u\cdot\vec w=0:

\vec u\cdot\vec w=\lambda-1=0\\\\\lambda=1


b) Si \vec u,\,\vec v\mbox{ y }\vec w son linealmente independientes entonces \begin{vmatrix}\vec u\\\vec v\\\vec w\end{vmatrix}\neq0:

\begin{vmatrix}\vec u\\\vec v\\\vec w\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-1&3\\1&0&-1\\\lambda&1&0\end{vmatrix}=\lambda+3+1=\lambda+4\neq0

de donde λ≠-4.


c) Para λ=1 los 3 vectores \vec u,\,\vec v\mbox{ y }\vec w son linealmente independientes como demostramos en el apartado anterior, luego existirán 3 valores α, β y γ tales que \vec r=\alpha\vec u+\beta\vec v+\gamma\vec w

(3,0,2)=\alpha(1,-1,3)+\beta(1,0,-1)+\gamma(1,1,0)

\left\{\begin{array}{l}3=\alpha+\beta+\gamma\\0=-\alpha+\gamma\\2=3\alpha-\beta\end{array}\right.

Sistema cuya solución es α=1, β=1 y γ=1. Por tanto:

\vec r=\vec u+\vec v+\vec w

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