Problema 165

Considera la función derivable f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por

f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2x}&\mbox{si}&x<0\\\\ax+b&\mbox{si}&x\geq0\end{array}\right.

a) Calcula a y b.

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=-1.


Solución:

a) Para que una función sea derivable, primero ha de ser continua. Estudiemos la continuidad en x=0:

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}ax+b=b
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow0^-}\frac{e^x-e^{-x}}{2x}=\frac 00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{e^x+e^{-x}}2=1
  • f(0)=a\cdot 0+b=b

Luego, para que esta función sea continua en x=0 tiene que ser b=1.

Definimos la función derivada:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{(e^x+e^{-x})2x-(e^x-e^{-x})2}{(2x)^2}&\mbox{si}&x<0\\a&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.

Estudiamos la derivabilidad en x=0:

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}a=a
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow0^-}\frac{(e^x+e^{-x})2x-(e^x-e^{-x})2}{(2x)^2}=

\displaystyle =\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{(e^x+e^{-x})x-e^x+e^{-x}}{2x^2}=\frac 00=\\\\\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{(e^x-e^{-x})x+e^x+e^{-x}-e^x-e^{-x}}{4x}=\\\\=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{(e^x-e^{-x})x}{4x}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{e^x-e^{-x}}4=0

De donde se deduce que a=0.


b) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisas x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

Nos piden la recta tangente en x_0=-1, luego:

\displaystyle f(-1)=\frac{e^{-1}-e^{-(-1)}}{2\cdot(-1)}=\frac{\frac 1e-e}{-2}=\frac{1-e^2}{-2e}

\displaystyle f'(-1)=\frac{(e^{-1}+e^{-(-1)})2\cdot(-1)-(e^{-1}-e^{-(-1)})2}{(2\cdot(-1))^2}=\frac{-(\frac 1e+e)-(\frac 1e-e)}{2}=\\\\=\frac{-\frac 1e-e-\frac 1e+e}{2}=\frac{-2}{2e}=\frac{-1}e

Luego, la ecuación de la recta tangente es:

\displaystyle y-\frac{1-e^2}{-2e}=\frac{-1}e(x-(-1))\\\\y+\frac{1-e^2}{2e}=\frac{-1}e(x+1)\\\\y=\frac{-x}e-\frac 1e-\frac{1-e^2}{2e}\\\\y=\frac{-x}e-\frac 2{2e}-\frac{1-e^2}{2e}\\\\y=\frac{-x}e-\frac{3-e^2}{2e}

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