Problema 166

Considera el recinto limitado por las siguientes curvas

y=x^2,\,y=2-x^2,\,y=4.

a) Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas.

b) Calcula el área del recinto.


Solución:

a) Estas tres funciones son funciones elementales:

  • y=x²: es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola convexa que tiene su vértice en x_v=\frac{-b}{2a}=0 e y=0, y que también pasa por los puntos (1,1) y (-1,1).
  • y=2-x²: es otra función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava cuyo vértice es el punto (0,2), y que también pasa por los puntos (1,1) y (-1,1).
  • y=4: es una función lineal con pendiente 0 cuya gráfica es una recta horizontal que pasa por el punto (0,4).

Con los datos anteriores el esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente gráfica:

p166

Las tres gráficas delimitan la región representada de color gris.

Calculamos los puntos de corte de las tres funciones:

  • Corte de y=x² con y=4:

x^2=4\\x=\pm 2

es decir, (-2,4) y (2,4)

  • Corte de y=x² con y=2-x²:

x^2=2-x^2\\2x^2=2\\x^2=1\\x=\pm 1

es decir, (-1,1) y (1,1).


b) Al ser las tres funciones, funciones pares, la gráfica resultante presenta simetría par, entonces, el área de la zona sombreada es igual al doble de la zona sombreada en la parte derecha de la gráfica:

\displaystyle S=2\int_0^a 4-(2-x^2)~dx+2\int_a^b 4-x^2~dx

donde a=1 y b=2. Luego:

\displaystyle S=2\int_0^1 2+x^2~dx+2\int_1^2 4-x^2~dx=\\\\=2\left[2x+\frac{x^3}3\right]_0^1+2\left[4x-\frac{x^3}3\right]_1^2=\\\\=2\left[\left(2+\frac 13\right)-0\right]+2\left[\left(8-\frac 83\right)-\left(4-\frac 13\right)\right]=\\\\=4+\frac 23+8-\frac{14}3=12-\frac{12}3=8\mbox{ u.a.}

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