Problema 167

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II

Considera las matrices,

A=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&1&1\\2&3&0\end{pmatrix}\quad\mbox{y}\quad B=\begin{pmatrix}2&0&-3\\3&-1&-3\\-1&-2&-1\end{pmatrix}.

a) Calcula A⁻¹.

b) Halla la matriz X que verifica que A^tX+B=I, siendo I la matriz identidad y A^t la matriz traspuesta de A.

Solución:

a) Para calcular la matriz inversa de A utilizamos la fórmula:

\displaystyle \boxed{A^{-1}=\frac 1{|A|}\cdot(\mbox{Adj }A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}1&0&2\\1&1&1\\2&3&0\end{vmatrix}=6-4-3=-1

\mbox{Adj }A=\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}1&1\\3&0\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&1\\2&3\end{vmatrix}\\-\begin{vmatrix}0&2\\3&0\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&2\\2&0\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&0\\2&3\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&2&1\\6&-4&-3\\-2&1&1\end{pmatrix}

Luego:

\displaystyle A^{-1}=\frac 1{-1}\cdot\begin{pmatrix}-3&6&-2\\2&-4&1\\1&-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-6&2\\-2&4&-1\\-1&3&-1\end{pmatrix}

b) Primero despejamos la matriz X:

A^tX+B=I\\\\A^tX=I-B\\\\X=(A^t)^{-1}(I-B)\\\\X=(A^{-1})^t(I-B)

ya que (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t. Luego

X=\begin{pmatrix}3&-6&2\\-2&4&-1\\-1&3&-1\end{pmatrix}^t\cdot\left(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0&-3\\3&-1&-3\\-1&-2&-1\end{pmatrix}\right)=\\\\=\begin{pmatrix}3&-2&-1\\-6&4&3\\2&-1&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&0&3\\-3&2&3\\1&2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-6&1\\-3&14&0\\0&-4&1\end{pmatrix}

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