Problema 168

Sea r la recta dada por $\displaystyle \frac{x+2}2=y+1=\frac{z-1}{-3}$ y sea s la recta dada por $\left\{\begin{array}{l}x-y-3=0\\3y-z+6=0\end{array}\right.$

a) Estudia la posición relativa de r y s.

b) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a s.

Solución:

a) Para estudiar la posición relativa de dos rectas necesitamos sus vectores directores $\vec v_r$ y $\vec v_s$ y dos puntos cualesquiera de ambas, $P_r$ y $P_s$ .

$r\equiv\left\{\begin{array}{l}P_r=(-2,-1,1)\\\vec v_r=(2,1,-3)\end{array}\right.$

Para obtener el punto y el vector director de la recta s, primero escribimos dicha recta en forma paramétrica haciendo z=3λ:

$\left\{\begin{array}{l}x-y-3=0\\3y-z+6=0\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\3y=-6+3\lambda\end{array}\right.$

de donde

$s\equiv\left\{\begin{array}{l}z=3\lambda\\y=-2+\lambda\\x=1+\lambda\end{array}\right.$

Por tanto, $\vec v_s=(1,1,3)$ y $P_s=(1,-2,0)$

Para estudiar la posición relativa primer calculamos el rango de la matriz $\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}$

$\mbox{rg}\begin{pmatrix}2&1&-3\\1&1&3\end{pmatrix}=2$ ya que $\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=1\neq0$ .

Esto quiere decir que ambas rectas no son paralelas ni coincidentes. Para ver si ambas rectas se cortan o se cruzan, calculamos el rango de la matriz $\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}$ :