Problema 168

Sea r la recta dada por \displaystyle \frac{x+2}2=y+1=\frac{z-1}{-3} y sea s la recta dada por \left\{\begin{array}{l}x-y-3=0\\3y-z+6=0\end{array}\right.

a) Estudia la posición relativa de r y s.

b) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a s.


Solución:

a) Para estudiar la posición relativa de dos rectas necesitamos sus vectores directores \vec v_r y \vec v_s y dos puntos cualesquiera de ambas, P_r y P_s.

r\equiv\left\{\begin{array}{l}P_r=(-2,-1,1)\\\vec v_r=(2,1,-3)\end{array}\right.

Para obtener el punto y el vector director de la recta s, primero escribimos dicha recta en forma paramétrica haciendo z=3λ:

\left\{\begin{array}{l}x-y-3=0\\3y-z+6=0\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\3y=-6+3\lambda\end{array}\right.

de donde

s\equiv\left\{\begin{array}{l}z=3\lambda\\y=-2+\lambda\\x=1+\lambda\end{array}\right.

Por tanto, \vec v_s=(1,1,3) y P_s=(1,-2,0)

Para estudiar la posición relativa primer calculamos el rango de la matriz \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}

\mbox{rg}\begin{pmatrix}2&1&-3\\1&1&3\end{pmatrix}=2 ya que \begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=1\neq0.

Esto quiere decir que ambas rectas no son paralelas ni coincidentes. Para ver si ambas rectas se cortan o se cruzan, calculamos el rango de la matriz \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}:

\overrightarrow{P_rP_s}=(1,-2,0)-(-2,-1,1)=(3,-1,-1)

\begin{vmatrix}2&1&-3\\1&1&3\\3&-1&-1\end{vmatrix}=-2+9+3+9+1+6\neq0

Por tanto, ambas rectas se cruzan.


b) La ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a s es:

\pi\equiv\left\{\begin{array}{l}P_r\\\vec v_r\\\vec v_s\end{array}\right.

Escribimos dicho plano en forma general:

\begin{vmatrix}x+2&y+1&z-1\\2&1&-3\\1&1&3\end{vmatrix}=6(x+2)-9(y+1)+z-1=\\\\=6x+12-9y-9+z-1=6x-9y+z+2=0\\\\\pi\equiv 6x-9y+z+2=0

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