Problema 169

Sea f la función definida por \displaystyle f(x)=\frac 1{2x}+\ln x para x>0 (ln denota el logaritmo neperiano).

a) Determina el punto de la gráfica de f en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.

b) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=1.


Solución:

a) La ecuación de cualquier recta y=mx+n es m. En el caso de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa x=x_0, la pendiente es m=f'(x_0).

Pretendemos maximizar la pendiente de una recta, lo cual nos lleva a calcular los puntos críticos de dicha pendiente, esto es: m'=0. Por tanto, la ecuación que debemos resolver es:

f''(x)=0

\displaystyle f'(x)=\frac{-2}{4x^2}+\frac 1x=\frac{-1}{2x^2}+\frac 1x\\\\f''(x)=\frac{4x}{4x^4}-\frac 1{x^2}=\frac 1{x^3}-\frac 1{x^2}=\frac{1-x}{x^3}=0

La solución de esta ecuación es x=1. Comprobemos que se trata de un máximo utilizando el test de la derivada segunda de m que coincide con f´´´(x):

\displaystyle f'''(x)=\frac{-x^3-(1-x)3x^2}{x^6}=\frac{-x^3-3x^2+3x^3}{x^6}=\frac{2x-3}{x^4}\\\\f'''(1)=\frac{-1}1<0

Por tanto, se trata de un máximo para la pendiente de la recta tangente. El punto pedido es (1,f(1))=\mathbf{(1,1/2)}.


b) La ecuación de la recta normal a f en el punto x=x_0 tiene la siguiente fórmula:

\displaystyle\boxed{y-f(x_0)=\frac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)}

Sabemos que x_0=1, por tanto:

\displaystyle f(1)=\frac 12\\\\f'(1)=\frac{-2}4+\frac 11=\frac{-1}2+1=\frac 12

Solo queda sustituir en la fórmula anterior:

\displaystyle y-\frac 12=\frac{-1}{1/2}(x-1)\\\\y=-2(x-1)+\frac 12\\\\y=-2x+2+\frac 12\\\\y=\frac{-4x+4+1}2\\\\\mathbf{y=\frac{-4x+5}2}

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