Problema 170

Calcula \displaystyle \int_{-1}^1\ln(4-x)~dx (ln denota el logaritmo neperiano).


Solución:

Esta integral se resuelve por el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=\ln(4-x)&\longrightarrow&du=\frac{-1}{4-x}~dx\\dv=dx&\longrightarrow&v=x\end{array}

\displaystyle \int_{-1}^1\ln(4-x)~dx=x\ln(4-x)|_{-1}^1-\int_{-1}^1 \frac{-x}{4-x}~dx=x\ln(4-x)|_{-1}^1+\int_{-1}^1 \frac x{4-x}~dx

Esta última integral es de tipo racional. Primero escribiremos la fracción en su forma cociente y resto:

\displaystyle \int\frac x{4-x}~dx=\int -1~dx+\int\frac 4{4-x}~dx=\\\\=-x-4\int\frac{-1}{4-x}~dx=-x-4\ln|4-x|+k

Sustituyendo:

\displaystyle \int_{-1}^1\ln(4-x)~dx=x\ln(4-x)|_{-1}^1-x-4\ln|4-x||_{-1}^1=\\\\=\left[x\ln(4-x)-x-4\ln(4-x)\right]_{-1}^1=\\\\=(1\ln 3-1-4\ln3)-(-\ln5+1-4\ln 5)=\\\\=-3\ln 3-1+5\ln5-1=\mathbf{-2+\ln\frac{5^5}{3^3}}

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