Problema 171

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&(m+1)y&+&2z&=&-1\\mx&+&y&+&z&=&m\\(1-m)x&+&2y&+&z&=&-m-1\end{array}\right.

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Resuelvelo para m=2. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que z=2.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por definir la matriz de coeficientes:

M=\begin{pmatrix}1&m+1&2\\m&1&1\\1-m&2&1\end{pmatrix}

y la matriz ampliada:

M^*=\begin{pmatrix}1&m+1&2&-1\\m&1&1&m\\1-m&2&1&-m-1\end{pmatrix}

Calculemos el rango de M calculando su determinante:

\begin{vmatrix}1&m+1&2\\m&1&1\\1-m&2&1\end{vmatrix}=1+(m+1)(1-m)+4m-2(1-m)-m(m+1)-2=\\\\=1+1-m^2+4m-2+2m-m^2-m-2=-2m^2+5m-2

Las raíces de este determinante son m=1/2 y m=2, por tanto:

  • Si m≠1/2 y m≠2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, teniéndose un sistema compatible determinado.
  • Si m=1/2, el rango de M es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}\neq0. Veamos ahora el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}3/2&2&-1\\1&1&1/2\\2&1&-3/2\end{vmatrix}=-9/4+2-1+2+3-3/4=3

Luego el rango de M* es 3 y por tanto, el sistema es incompatible.

  • Si m=2, el rango de M también es 2, ya que \begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}\neq0. Calculemos el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}3&2&-1\\1&1&2\\2&1&-3\end{vmatrix}=0 ya que la tercera fila es la primera menos la segunda.

Por tanto, en este caso el sistema es compatible indeterminado.


b) Para el caso m=2 el rango del sistema era como vimos 2. Por tanto, el sistema equivalente sería:

\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&+&y&+&z&=&2\\-x&+&2y&+&z&=&-3\end{array}\right.

Haciendo el cambio x=λ resulta el sistema:

\left\{\begin{array}{ccccc}y&+&z&=&2-2\lambda\\2y&+&z&=&-3+\lambda\end{array}\right.

Restando la ecuación segunda menos la primera resulta:

y=-3+\lambda-2+2\lambda\\\\y=-5+3\lambda

y por tanto:

z=2-2\lambda-(-5+3\lambda)\\\\z=7-5\lambda

En resumen, la solución del sistema en el caso m=2 es:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=-5+3\lambda\\z=7-5\lambda\end{array}\right.

Por otra parte, nos piden una solución en la que z=2. Para que eso ocurra:

2=7-5\lambda\\\\5\lambda=7-2\\\\\lambda=1

y por tanto, la solución buscada es:

\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=-2\\z=2\end{array}\right.

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