Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales
a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.
b) Resuelvelo para m=2. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que z=2.
Solución:
a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por definir la matriz de coeficientes:
y la matriz ampliada:
Calculemos el rango de M calculando su determinante:
Las raíces de este determinante son m=1/2 y m=2, por tanto:
- Si m≠1/2 y m≠2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, teniéndose un sistema compatible determinado.
- Si m=1/2, el rango de M es 2 ya que
. Veamos ahora el rango de la matriz ampliada:
Luego el rango de M* es 3 y por tanto, el sistema es incompatible.
- Si m=2, el rango de M también es 2, ya que
. Calculemos el rango de la matriz ampliada:
ya que la tercera fila es la primera menos la segunda.
Por tanto, en este caso el sistema es compatible indeterminado.
b) Para el caso m=2 el rango del sistema era como vimos 2. Por tanto, el sistema equivalente sería:
Haciendo el cambio x=λ resulta el sistema:
Restando la ecuación segunda menos la primera resulta:
y por tanto:
En resumen, la solución del sistema en el caso m=2 es:
Por otra parte, nos piden una solución en la que z=2. Para que eso ocurra:
y por tanto, la solución buscada es:
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