Problema 172

Considera los vectores \vec u=(1,-1,0),~\vec v=(0,1,2),~\vec w=(1+\alpha,2\alpha,2-3\alpha). Halla los valores de α en cada uno de los siguientes casos:

a) \vec u,~\vec v\mbox{ y }\vec w están en el mismo plano.

b) \vec w es perpendicular a \vec u\mbox{ y a }\vec v.

c) El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores \vec u,~\vec v\mbox{ y }\vec w es 1/6.


Solución:

a) Para que tres vectores sean coplanarios, la matriz formada por esos vectores no ha de tener rango 3, es decir, el determinante de dicha matriz ha de ser 0.

\begin{vmatrix}1&-1&0\\0&1&2\\1+\alpha&2\alpha&2-3\alpha\end{vmatrix}=2-3\alpha-2(1+\alpha)-2(2\alpha)=\\\\=2-3\alpha-2-2\alpha-4\alpha=-9\alpha=0

Ecuación cuya solución es α=0.


b) Para que \vec w sea perpendicular a \vec u\mbox{ y a }\vec v, entonces \vec w debe ser paralelo al producto vectorial de \vec u\mbox{ y }\vec v.

\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-1&0\\0&1&2\end{vmatrix}=-2\vec\imath+\vec k-2\vec\jmath=(-2,-2,1)

Para que este vector sea paralelo a \vec w debe cumplirse:

\displaystyle \frac{-2}{1+\alpha}=\frac{-2}{2\alpha}=\frac{1}{2-3\alpha}

Igualdades que se cumplen para α=1.


c) El volumen del tetraedro formado por los vectores \vec u,~\vec v\mbox{ y }\vec w es igual a:

\displaystyle \boxed{V=\frac 16\cdot|[\vec u,\vec v,\vec w]|}

[\vec u,\vec v,\vec w]=\begin{vmatrix}1&-1&0\\0&1&2\\1+\alpha&2\alpha&2-3\alpha\end{vmatrix}=-9\alpha

Solo nos queda resolver la ecuación:

\displaystyle \frac 16\cdot |-9\alpha|=\frac 16\\\\|-9\alpha|=1

Ahora hay que resolver esta ecuación en valores absolutos:

  • \displaystyle -9\alpha=1\longrightarrow \mathbf{\alpha=-1/9}
  • \displaystyle 9\alpha=1\longrightarrow \mathbf{\alpha=1/9}

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