Problema 173

Sea f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=x^3+bx^2+cx+d. Halla b, c y d sabiendo que f tiene un máximo relativo en x=-1 y que \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)}{x-1}=4.


Solución:

Comencemos por utilizar el dato del límite:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3+bx^2+cx+d}{x-1}=\frac{1+b+c+d}0

Para que este límite de un resultado finito, ha de ser 1+b+c+d=0. Una vez que el numerador vale 0, utilizamos la regla de L’Hôpital para calcular el límite:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3+bx^2+cx+d}{x-1}=\frac 00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x^2+2bx+c}{1}=3+2b+c=4

Por otra parte se dice que en x=-1 la función f tiene un máximo, lo cual quiere decir que f'(-1)=0:

f'(x)=3x^2+2bx+c\\\\f'(-1)=3-2b+c=0

Tenemos ya un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

\left\{\begin{array}{l}1+b+c+d=0\\3+2b+c=4\\3-2b+c=0\end{array}\right.

Sistema cuya solución es: b=1, c=-1, d=-1.

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