Sea 
a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=2.
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta 
c) Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.
Solución:
a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisas 
Nos piden la ecuación de la recta tangente en 
Luego la ecuación buscada es:
b) Todas las gráficas que nos piden corresponden a funciones elementales:
- La función
e
. Esto es, en el punto (1,4).
Corta al eje x en:
Corta al eje y en:
- La función
y al eje y en:
Con todos estos datos estamos en condiciones de representar las gráficas de las funciones cuyo esbozo debería ser semejante a la siguiente gráfica:
La recta corta a f en algún punto. Calculamos donde se cortan igualando ambas funciones:
Ecuación de segundo grado cuya soluciones son: x=2. Es decir, el punto donde se cortan ambas gráficas es: (2,3).
c) Hemos de calcular el área de la región limitada por las 2 funciones y el eje x representada en la gráfica anterior como una zona sombreada.
![\displaystyle S=\int_2^3 -2x+7-(-x^2+2x+3)~dx+\int_3^{7/2}-2x+7~dx=\\\\=\int_2^3 -4x+x^2+4~dx+[-x^2+7x]_3^{7/2}=\\\\=\left[-2x^2+\frac{x^3}3+4x\right]_2^3+\left[\left(-\frac{49}4+\frac{49}2\right)-(-9+21)\right]=\\\\=\left[\left(-18+9+12\right)-\left(-8+\frac 83+8\right)\right]+\left[\frac{49}4-12\right]=\\\\=\left[3-\frac 83\right]+\frac 14=\frac 13+\frac 14=\frac 7{12}\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_2%5E3+-2x%2B7-%28-x%5E2%2B2x%2B3%29%7Edx%2B%5Cint_3%5E%7B7%2F2%7D-2x%2B7%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cint_2%5E3+-4x%2Bx%5E2%2B4%7Edx%2B%5B-x%5E2%2B7x%5D_3%5E%7B7%2F2%7D%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B-2x%5E2%2B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D3%2B4x%5Cright%5D_2%5E3%2B%5Cleft%5B%5Cleft%28-%5Cfrac%7B49%7D4%2B%5Cfrac%7B49%7D2%5Cright%29-%28-9%2B21%29%5Cright%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B%5Cleft%28-18%2B9%2B12%5Cright%29-%5Cleft%28-8%2B%5Cfrac+83%2B8%5Cright%29%5Cright%5D%2B%5Cleft%5B%5Cfrac%7B49%7D4-12%5Cright%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B3-%5Cfrac+83%5Cright%5D%2B%5Cfrac+14%3D%5Cfrac+13%2B%5Cfrac+14%3D%5Cfrac+7%7B12%7D%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\int_2^3 -2x+7-(-x^2+2x+3)~dx+\int_3^{7/2}-2x+7~dx=\\\\=\int_2^3 -4x+x^2+4~dx+[-x^2+7x]_3^{7/2}=\\\\=\left[-2x^2+\frac{x^3}3+4x\right]_2^3+\left[\left(-\frac{49}4+\frac{49}2\right)-(-9+21)\right]=\\\\=\left[\left(-18+9+12\right)-\left(-8+\frac 83+8\right)\right]+\left[\frac{49}4-12\right]=\\\\=\left[3-\frac 83\right]+\frac 14=\frac 13+\frac 14=\frac 7{12}\mbox{ u.a.}")
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