Problema 174

Sea f:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=-x^2+2x+3.

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=2.

b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta 2x+y-7=0 y el eje OX, calculando los puntos de corte.

c) Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.


Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisas x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

Nos piden la ecuación de la recta tangente en x_0=2:

f(2)=-2^2+2\cdot 2+3=-4+4+3=3\\\\f'(x)=-2x+2\longrightarrow f'(2)=-2

Luego la ecuación buscada es:

y-3=-2(x-2)\\\\y=-2x+4+3\\\\y=-2x+7


b) Todas las gráficas que nos piden corresponden a funciones elementales:

  • La función f(x)=-x^2+2x+3 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava cuyo máximo está en x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{-2}=1 e y_v=-1+2+3=4. Esto es, en el punto (1,4).

Corta al eje x en:

0=-x^2+2x+3\longrightarrow x=-1,\,x=3 Es decir en (-1,0) y (3,0).

Corta al eje y en:

y=f(0)=3 es decir, en (0,3).

  • La función 2x+y-7=0 es una función lineal cuya gráfica es una recta decreciente que corta al eje x en:

0=-2x+7\longrightarrow x=7/2 es decir, en (7/2,0)

y al eje y en:

y=-2\cdot 0+7=7\longrightarrow (0,7)

Con todos estos datos estamos en condiciones de representar las gráficas de las funciones cuyo esbozo debería ser semejante a la siguiente gráfica:

p174

La recta corta a f en algún punto. Calculamos donde se cortan igualando ambas funciones:

-x^2+2x+3=-2x+7\\\\-x^4+4x-4=0

Ecuación de segundo grado cuya soluciones son: x=2. Es decir, el punto donde se cortan ambas gráficas es: (2,3).


c) Hemos de calcular el área de la región limitada por las 2 funciones y el eje x representada en la gráfica anterior como una zona sombreada.

\displaystyle S=\int_2^3 -2x+7-(-x^2+2x+3)~dx+\int_3^{7/2}-2x+7~dx=\\\\=\int_2^3 -4x+x^2+4~dx+[-x^2+7x]_3^{7/2}=\\\\=\left[-2x^2+\frac{x^3}3+4x\right]_2^3+\left[\left(-\frac{49}4+\frac{49}2\right)-(-9+21)\right]=\\\\=\left[\left(-18+9+12\right)-\left(-8+\frac 83+8\right)\right]+\left[\frac{49}4-12\right]=\\\\=\left[3-\frac 83\right]+\frac 14=\frac 13+\frac 14=\frac 7{12}\mbox{ u.a.}

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