Sea la función definida por .

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=2.

b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta y el eje OX, calculando los puntos de corte.

c) Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.

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Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisas es:

Nos piden la ecuación de la recta tangente en :

Luego la ecuación buscada es:

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b) Todas las gráficas que nos piden corresponden a funciones elementales:

• La función es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava cuyo máximo está en e . Esto es, en el punto (1,4).

Corta al eje x en:

Es decir en (-1,0) y (3,0).

Corta al eje y en:

es decir, en (0,3).

• La función es una función lineal cuya gráfica es una recta decreciente que corta al eje x en:

es decir, en (7/2,0)

y al eje y en:

Con todos estos datos estamos en condiciones de representar las gráficas de las funciones cuyo esbozo debería ser semejante a la siguiente gráfica:

La recta corta a f en algún punto. Calculamos donde se cortan igualando ambas funciones:

Ecuación de segundo grado cuya soluciones son: x=2. Es decir, el punto donde se cortan ambas gráficas es: (2,3).

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c) Hemos de calcular el área de la región limitada por las 2 funciones y el eje x representada en la gráfica anterior como una zona sombreada.

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