Problema 175

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}1+m&1\\1&1-m\end{pmatrix}\qquad\mbox{y}\qquad B=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}

a) ¿Para qué valores de m se verifica que A^2=2A+I? (I denota la matriz identidad).

b) Para m=1, calcula A⁻¹ y la matriz X que satisface AX-B=AB.


Solución:

a) Calculamos A²:

A^2=\begin{pmatrix}1+m&1\\1&1-m\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1+m&1\\1&1-m\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}(1+m)^2+1&(1+m)+(1-m)\\(1+m)+(1-m)&1+(1-m)^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(1+m)^2+1&2\\2&1+(1-m)^2\end{pmatrix}

2A+I=2\begin{pmatrix}1+m&1\\1&1-m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+2m&2\\2&3-2m\end{pmatrix}

Para que estas dos matrices ha de cumplirse el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}(1+m)^2+1=3+2m\\2=2\\2=2\\1+(1-m)^2=3-2m\end{array}\right.

De la primera ecuación:

(1+m)^2+1=3+2m\\\\1+m^2+2m+1=3+2m\\\\m^2=1\\\\m=\pm 1

De la cuarta ecuación:

(1-m)^2+1=3-2m\\\\1+m^2-2m+1=3-2m\\\\m^2=1\\\\m=\pm 1

Luego los valores buscados son: m=1 y m=-1.


b) Para m=1 la matriz A es:

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}

Calculamos la matriz inversa con la fórmula:

\displaystyle\boxed{A^{-1}=\frac 1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=-1

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&2\end{pmatrix}

\displaystyle A^{-1}=\frac 1{-1}\begin{pmatrix}0&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix}

Por otra parte nos piden que resolvamos la ecuación AX-B=AB:

AX-B=AB\\\\AX=AB+B\\\\X=A^{-1}(A+I)B\\\\X=(I+A^{-1})B=\left(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\0&-1\end{pmatrix}

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