Problema 176

Considera el punto P(2,-2,0) y la recta r dada por

$\left\{\begin{array}{l}x+z-2=0\\y+z-1=0\end{array}\right.$

a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r.

b) Calcula la distancia de P a r.

Solución:

a) Nos piden un plano π que sea perpendicular a r, por tanto, $\vec n_\pi\|\vec v_r$ . A partir de las ecuaciones implícitas de r es fácil obtener $\vec v_r$ :

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}=\vec k-\vec\jmath-\vec\imath=(-1,-1,1)=\vec n_\pi$

Ya tenemos parte de la ecuación implícita del plano π: $-x-y+z+D=0$ . Solo queda imponer que dicho plano pase por P:

$-2-(-2)+0+D=0\\\\-2+2+D=0\\\\D=0$

Por tanto, el plano π es: $-x-y+z=0$ .

b) Para calcular la distancia de P a r utilizamos la fórmula:

$\displaystyle \boxed{d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{PP_r}\times\vec v_r|}{|\vec v_r|}}$

donde $P_r$ es un punto cualquiera de r. Para obtener un punto cualquiera de r es suficiente con dar un valor cualquiera a una de las variables de sus ecuaciones implícitas. Por ejemplo, si hacemos z=0, entonces x=2 e y=1. Entonces $P_r=(2,1,0)$ :