Problema 176

Considera el punto P(2,-2,0) y la recta r dada por

\left\{\begin{array}{l}x+z-2=0\\y+z-1=0\end{array}\right.

a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r.

b) Calcula la distancia de P a r.


Solución:

a) Nos piden un plano π que sea perpendicular a r, por tanto, \vec n_\pi\|\vec v_r. A partir de las ecuaciones implícitas de r es fácil obtener \vec v_r:

\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}=\vec k-\vec\jmath-\vec\imath=(-1,-1,1)=\vec n_\pi

Ya tenemos parte de la ecuación implícita del plano π: -x-y+z+D=0. Solo queda imponer que dicho plano pase por P:

-2-(-2)+0+D=0\\\\-2+2+D=0\\\\D=0

Por tanto, el plano π es: -x-y+z=0.


b) Para calcular la distancia de P a r utilizamos la fórmula:

\displaystyle \boxed{d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{PP_r}\times\vec v_r|}{|\vec v_r|}}

donde P_r es un punto cualquiera de r. Para obtener un punto cualquiera de r es suficiente con dar un valor cualquiera a una de las variables de sus ecuaciones implícitas. Por ejemplo, si hacemos z=0, entonces x=2 e y=1. Entonces P_r=(2,1,0):

\overrightarrow{PP_r}=(2,1,0)-(2,-2,0)=(0,3,0)

\overrightarrow{PP_r}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\0&3&0\\-1&-1&1\end{vmatrix}=3\vec\imath+3\vec k=(3,0,3)

\displaystyle d(P,r)=\frac{\sqrt{3^2+0^2+3^2}}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt 3}=\sqrt 6\mbox{ u.l.}

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