Problema 177

📖Análisis matemático II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIdurán

Calcula $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-\,\mbox{sen}\,x}{x-\,\mbox{sen}\,x}$ .

Solución:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-\,\mbox{sen}\,x}{x-\,\mbox{sen}\,x}=\frac 00$

Indeterminación que resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-\,\mbox{sen}\,x}{x-\,\mbox{sen}\,x}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+\tan^2x-\cos x}{1-\cos x}=\frac{1+0-1}{1-1}=\frac 00=\\\\\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan x(1+\tan^2x)+\mbox{sen}\,x}{\mbox{sen}\,x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan x+2\tan^3x+\mbox{sen}\,x}{\mbox{sen}\,x}=\frac 00=\\\\\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2(1+\tan^2x)+6\tan^2x(1+\tan^2x)+\cos x}{\cos x}=\frac{2+1}1=3$

♦

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