Problema 178

Sea f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=x^3-3x^2-x+3.

a) Halla, si existe, el punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es y=3-x.

b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta del apartado anterior.


Solución:

a) La pendiente m de la recta tangente, y=mx+n, a una función f en un punto x=x_0 es:

\boxed{m=f'(x_0)}

En este caso, la recta tangente tiene pendiente m=-1, por tanto, hemos de encontrar los puntos de f tal que f'(x)=-1:

f'(x)=3x^2-6x-1=-1\\\\3x^2-6x=0\\\\3x(x-2)=0

Ecuación de segundo grado cuyas raíces son x=0 y x=2.

  • Para x=0, el valor que toma la recta es y=3, y el de la función f(0)=3, por tanto, en este punto, la recta y=3-x es tangente a f.
  • Para x=2, el valor que toma la recta es y=3-2=1, y la función f(x)=-2, es decir, que la recta y=3-x no se corta con f en x=2, y por tanto, no es tangente a ella.

b) Para calcular el área que delimitan dos funciones, sin hacer esbozos, primero calculamos donde se cortan ambas funciones:

x^3-3x^2-x+3=3-x\\\\x^3-3x^2=0\\\\x^2(x-3)=0

Vemos que ambas funciones se cortan en x=0 y x=3, por tanto el área es:

\displaystyle S=\left|\int_0^3(x^3-3x^2-x+3)-(3-x)~dx\right|=\\\\=\left|\int_0^3x^3-3x^2~dx\right|=\left|\left[\frac{x^4}4-x^3\right]_0^3\right|=\\\\=\left|\left(\frac{81}4-27\right)-(0)\right|=\left|\frac{81-108}4\right|=\frac{27}4\mbox{ u.a.}

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