Sea la función definida por
.
a) Halla, si existe, el punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es .
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta del apartado anterior.
Solución:
a) La pendiente m de la recta tangente, , a una función f en un punto
es:
En este caso, la recta tangente tiene pendiente m=-1, por tanto, hemos de encontrar los puntos de f tal que :
Ecuación de segundo grado cuyas raíces son x=0 y x=2.
- Para x=0, el valor que toma la recta es y=3, y el de la función
, por tanto, en este punto, la recta
es tangente a f.
- Para x=2, el valor que toma la recta es y=3-2=1, y la función
, es decir, que la recta
no se corta con f en x=2, y por tanto, no es tangente a ella.
b) Para calcular el área que delimitan dos funciones, sin hacer esbozos, primero calculamos donde se cortan ambas funciones:
Vemos que ambas funciones se cortan en x=0 y x=3, por tanto el área es:
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