Sea 
a) Halla, si existe, el punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es 
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta del apartado anterior.
Solución:
a) La pendiente m de la recta tangente, 
En este caso, la recta tangente tiene pendiente m=-1, por tanto, hemos de encontrar los puntos de f tal que 
Ecuación de segundo grado cuyas raíces son x=0 y x=2.
- Para x=0, el valor que toma la recta es y=3, y el de la función
, por tanto, en este punto, la recta
- Para x=2, el valor que toma la recta es y=3-2=1, y la función
, es decir, que la recta
b) Para calcular el área que delimitan dos funciones, sin hacer esbozos, primero calculamos donde se cortan ambas funciones:
Vemos que ambas funciones se cortan en x=0 y x=3, por tanto el área es:
![\displaystyle S=\left|\int_0^3(x^3-3x^2-x+3)-(3-x)~dx\right|=\\\\=\left|\int_0^3x^3-3x^2~dx\right|=\left|\left[\frac{x^4}4-x^3\right]_0^3\right|=\\\\=\left|\left(\frac{81}4-27\right)-(0)\right|=\left|\frac{81-108}4\right|=\frac{27}4\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cleft%7C%5Cint_0%5E3%28x%5E3-3x%5E2-x%2B3%29-%283-x%29%7Edx%5Cright%7C%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%7C%5Cint_0%5E3x%5E3-3x%5E2%7Edx%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bx%5E4%7D4-x%5E3%5Cright%5D_0%5E3%5Cright%7C%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%7C%5Cleft%28%5Cfrac%7B81%7D4-27%5Cright%29-%280%29%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Cfrac%7B81-108%7D4%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B27%7D4%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\left|\int_0^3(x^3-3x^2-x+3)-(3-x)~dx\right|=\\\\=\left|\int_0^3x^3-3x^2~dx\right|=\left|\left[\frac{x^4}4-x^3\right]_0^3\right|=\\\\=\left|\left(\frac{81}4-27\right)-(0)\right|=\left|\frac{81-108}4\right|=\frac{27}4\mbox{ u.a.}")
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