Problema 179

Considera el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas x, y, z,

\left\{\begin{array}{ccc}\lambda y+(\lambda+1)z&=&\lambda\\\lambda x+z&=&\lambda\\x+\lambda z&=&\lambda\end{array}\right.

a) Discute el sistema según los valores del parámetro λ.

b) Resuelve el sistema para λ=1.

c) Para λ=0, si es posible, da tres soluciones distintas.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

M=\begin{pmatrix}0&\lambda&\lambda+1\\\lambda&0&1\\1&0&\lambda\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}0&\lambda&\lambda+1&\lambda\\\lambda&0&1&\lambda\\1&0&\lambda&\lambda\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}0&\lambda&\lambda+1\\\lambda&0&1\\1&0&\lambda\end{vmatrix}=\lambda-\lambda^3=\lambda(1-\lambda^2)

determinante cuyas raíces son λ=0 y λ=±1.

  • Si λ≠0, λ≠1 y λ≠-1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n y, por tanto, el sistema será compatible determinado.
  • Si λ=0, la matriz de coeficientes es M=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2, ya que \begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}\neq 0. El rango de la matriz ampliada también es 2 ya que en este caso M* es una matriz homogénea. Tenemos en este caso un sistema compatible indeterminado.
  • Si λ=1, la matriz de coeficientes es M=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&0&1\\1&0&1\end{pmatrix} cuyo rango es también 2, ya que \begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}\neq 0. Calculemos el rango de la matriz ampliada

\begin{vmatrix}1&2&1\\0&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}=0, luego rg(M*)=2<n. En este caso, el sistema también es compatible indeterminado.

  • Si λ=-1, la matriz de coeficientes es M=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&1\\1&0&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&0\\0&1\end{vmatrix}\neq 0. Calculamos el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}-1&0&-1\\0&1&-1\\0&-1&-1\end{vmatrix}=1+1\neq0 luego el rango de la matriz ampliada es 3, y el sistema es incompatible.


b) Para λ=1, el sistema original es equivalente a

\left\{\begin{array}{ccc}y+2z&=&1\\x+z&=&1\end{array}\right.

Para resolver el sistema hacemos x=μ, de donde se obtiene la solución:

z=1-\mu\\y=1-2(1-\mu)=1-2+2\mu=-1+2\mu

\left\{\begin{array}{l}x=\mu\\y=-1+1\mu\\z=1-\mu\end{array}\right.


c) Sí es posible ya que para λ=0 el sistema es compatible indeterminado. En este caso, el sistema equivalente es:

\left\{\begin{array}{ccc}z&=&0\\x&=&0\end{array}\right.

Haciendo el cambio y=α obtenemos las infinitas soluciones del sistema:

\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=\alpha\\z=0\end{array}\right.

Para distintos valores de α obtendremos distintas soluciones, por ejemplo:

\alpha=0\longrightarrow(0,0,0)\\\alpha=1\longrightarrow(0,1,0)\\\alpha=2\longrightarrow(0,2,0)

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