Problema 180

Sean A(-3,4,0), B(3,6,3) y C(-1,2,1) los vértices de un triángulo.

a) Halla la ecuación del plano π que contiene al triángulo.

b) Halla la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por el origen de coordenadas.

c) Calcula el área del triángulo ABC.


Solución:

a) El plano π buscado está formado por los siguientes elementos:

\pi\equiv\left\{\begin{array}{l}A\\\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{AC}\end{array}\right.

donde

\overrightarrow{AB}=(3,6,3)-(-3,4,0)=(6,2,3)\\\overrightarrow{AC}=(-1,2,1)-(-3,4,0)=(2,-2,1)

La ecuación del plano es:

\begin{vmatrix}x+3&y-4&z\\6&2&3\\2&-2&1\end{vmatrix}=8(x+3)-16z=0\\\\8(x+3-2z)=0\\\\\pi:x-2z+3=0


b) Por ser la recta r perpendicular a π, entonces \vec v_r\|\vec n_\pi=(1,0,-2).

La recta ya puede ser escrita en forma vectorial:

r\equiv (x,y,z)=(0,0,0)+\lambda(1,0,-2)

ya que la recta pasa por el origen de coordenadas O(0,0,0).


c) El área S del triángulo formado por tres puntos ABC es:

\displaystyle \boxed{S=\frac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2}

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\6&2&3\\2&-2&1\end{vmatrix}=8\vec\imath-16\vec k=(8,0,-16)

Luego

\displaystyle S=\frac{\sqrt{8^2+0^2+(-16)^2}}2=\frac{\sqrt{320}}2=\frac{8\sqrt 5}2=4\sqrt 5\mbox{ u.a.}

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