Problema 181

Considera la función $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ definida por $f(x)=x^2e^{-x^2}$

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) Esboza la gráfica de f.

Solución:

a) El dominio de esta función es $\mathbb R$ , por tanto, no tiene asíntota vertical. Veamos si tiene o no asíntota horizontal u oblicua:

Asíntota horizontal:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}x^2e^{-x^2}=\infty\cdot 0=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{e^{x^2}}=\frac{\infty}{\infty}$

Esta indeterminación la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{e^{x^2}}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{e^{x^2}2x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac 1{e^{x^2}}=\frac 1\infty=0$

Para $x\rightarrow+\infty$ la función f presenta una asíntota horizontal: y=0. Ocurre lo mismo para $x\rightarrow-\infty$ , ya que f es una función par, esto es:

$f(-x)=(-x)^2e^{-(-x)^2}=x^2e^{-x^2}=f(x)$

En cuanto al signo, f(x)≥0 para todo $x\in\mathbb R$ .

Esta función tampoco presenta asíntota oblicua.

b) En primer lugar calculamos los puntos críticos:

$f'(x)=2xe^{-x^2}+x^2e^{-x^2}(-2x)=2xe^{-x^2}(1-x^2)=0$

Ecuación esta última cuyas soluciones son: x=0, x=1, x=-1. Estudiemos la monotonía en la siguiente tabla:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+&-\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}$