Problema 181

Considera la función f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=x^2e^{-x^2}

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) Esboza la gráfica de f.


Solución:

a) El dominio de esta función es \mathbb R,  por tanto, no tiene asíntota vertical. Veamos si tiene o no asíntota horizontal u oblicua:

  • Asíntota horizontal:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}x^2e^{-x^2}=\infty\cdot 0=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{e^{x^2}}=\frac{\infty}{\infty}

Esta indeterminación la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{e^{x^2}}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{e^{x^2}2x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac 1{e^{x^2}}=\frac 1\infty=0

Para x\rightarrow+\infty la función f presenta una asíntota horizontal: y=0. Ocurre lo mismo para x\rightarrow-\infty, ya que f es una función par, esto es:

f(-x)=(-x)^2e^{-(-x)^2}=x^2e^{-x^2}=f(x)

En cuanto al signo, f(x)≥0 para todo x\in\mathbb R.

Esta función tampoco presenta asíntota oblicua.


b) En primer lugar calculamos los puntos críticos:

f'(x)=2xe^{-x^2}+x^2e^{-x^2}(-2x)=2xe^{-x^2}(1-x^2)=0

Ecuación esta última cuyas soluciones son: x=0, x=1, x=-1. Estudiemos la monotonía en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+&-\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • Crece: (-\infty,-1)\cup(0,1)
  • Decrece: (-1,0)\cup(1,+\infty)
  • En x=-1 hay un máximo cuyas coordenadas son: (-1,1/e).
  • En x=0 hay un mínimo cuyas coordenadas son: (0,0).
  • En x=1 hay otro máximo cuyas coordenadas son: (1,1/e).

c) Con todos los datos aportados anteriormente, el esbozo de la gráfica debe asemejarse a:

p181

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