Considera la función definida por
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
c) Esboza la gráfica de f.
Solución:
a) El dominio de esta función es , por tanto, no tiene asíntota vertical. Veamos si tiene o no asíntota horizontal u oblicua:
- Asíntota horizontal:
Esta indeterminación la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:
Para la función f presenta una asíntota horizontal: y=0. Ocurre lo mismo para
, ya que f es una función par, esto es:
En cuanto al signo, f(x)≥0 para todo .
Esta función tampoco presenta asíntota oblicua.
b) En primer lugar calculamos los puntos críticos:
Ecuación esta última cuyas soluciones son: x=0, x=1, x=-1. Estudiemos la monotonía en la siguiente tabla:
- Crece:
- Decrece:
- En x=-1 hay un máximo cuyas coordenadas son: (-1,1/e).
- En x=0 hay un mínimo cuyas coordenadas son: (0,0).
- En x=1 hay otro máximo cuyas coordenadas son: (1,1/e).
c) Con todos los datos aportados anteriormente, el esbozo de la gráfica debe asemejarse a:
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