Problema 182

Sea f:(-1,3)\rightarrow\mathbb R la función definida por \displaystyle f(x)=\frac{x+9}{(x+1)(x-3)}. Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (1,0).


Solución:

\displaystyle F(x)=\int\frac{x+9}{(x+1)(x-3)}~dx

Esta integral es racional con raíces reales simples en el denominador. Hacemos la siguiente descomposición:

\displaystyle \frac{x+9}{(x+1)(x-3)}=\frac A{x+1}+\frac B{x-3}=\frac{A(x-3)+B(x+1)}{(x+1)(x-3)}

Igualando los numeradores:

x+9=A(x-3)+B(x+1)

  • x=3\rightarrow 12=4B\rightarrow B=3
  • x=-1\rightarrow 8=-4A\rightarrow A=-2

Por tanto:

\displaystyle F(x)=\int\frac{x+9}{(x+1)(x-3)}~dx=\int\frac{-2}{x+1}~dx+\int\frac{3}{x-3}~dx=\\\\=-2\ln|x+1|+3\ln|x-3|+k

Por otra parte nos dicen que F(1)=0, por tanto:

F(1)=-2\ln|1+1|+3\ln|1-3|+k=-2\ln 2+3\ln 2+k=\ln 2+k=0\\\\k=-\ln 2

De donde la primitiva de f resulta:

F(x)=-2\ln|x+1|+3\ln|x-3|-\ln 2

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