Problema 183

Considera las matrices

$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-2&1\\0&-5&3\end{pmatrix}\qquad\mbox{y}\qquad B=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}$ .

Halla la matriz X que verifica A⁻¹XA=B–A.

Solución:

Despejamos la matriz X de la ecuación:

$A^{-1}XA=B-A\\\\XA=A(B-A)\\\\X=A(B-A)A^{-1}$

Calculamos en primer lugar A⁻¹ con la fórmula:

$\displaystyle \boxed{A^{-1}=\frac 1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}$

$|A|=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&-2&1\\0&-5&3\end{vmatrix}=-6+5=-1$

$\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&3&5\\0&-1&-2\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-3&1\\0&-5&2\end{pmatrix}$

Ya podemos calcular la matriz X:

$X=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-2&1\\0&-5&3\end{pmatrix}\left(\begin{pmatrix}0&0&1\\1&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-2&1\\0&-5&3\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-3&1\\0&-5&2\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-2&1\\0&-5&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&3&0\\1&5&-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-3&1\\0&-5&2\end{pmatrix}$