Problema 184

Considera el punto P(8,-1,3) y la recta r dada por \displaystyle \frac{x+1}2=y-2=\frac{z-1}3.

a) Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r.

b) Halla el punto simétrico de P respecto de r.


Solución:

a) Por ser el plano π perpendicular a r entonces \vec n_\pi\|\vec v_r, entonces ya podemos escribir parte de la ecuación implícita del plano ya que \vec v_r=(2,1,3):

\pi\equiv 2x+y+3z+D=0

Ahora hacemos que el plano pase por el punto P:

2\cdot 8+(-1)+3\cdot 3+D=0\\\\16-1+9+D=0\\\\D=-24

Por tanto, el plano buscado es: \pi\equiv 2x+y+3z-24=0


b) Para calcular el punto simétrico de un punto P con respecto de una recta, comenzamos calculando un plano perpendicular a la recta y que contenga a dicha recta. Este paso ya lo hicimos en el apartado anterior.

p52

Ese plano cortará a la recta en el punto M, que será el punto medio entre P y el simétrico de P´:

Para calcular M=r\cap\pi, sustituimos las ecuaciones paramétricas de r en la implícita del plano:

\left\{\begin{array}{l}x=-1+2\lambda\\y=2+\lambda\\z=1+3\lambda\end{array}\right.

\displaystyle 2(-1+2\lambda)+(2+\lambda)+3(1+3\lambda)-24=0\\\\-2+4\lambda+2+\lambda+3+9\lambda-24=0\\\\14\lambda=21\\\\\lambda=\frac{21}{14}=\frac 32

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos M.

M=(2,\frac 72,\frac{11}2)

Y aplicando la fórmula del punto medio obtenemos el punto simétrico:

\displaystyle M=\frac{P+P'}2\\\\P'=2M-P=2\left(2,\frac 72,\frac{11}2\right)-(8,-1,3)=(4,7,11)-(8,-1,3)\\\\P'=(-4,8,8)

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