Problema 185

Sabiendo que \displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{x\cos(x)+b\,\mbox{sen}(x)}{x^3} es finito, calcula b y el valor del límite.


Solución:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{x\cos(x)+b\,\mbox{sen}(x)}{x^3}=\frac 00

Esta indeterminación la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{x\cos(x)+b\,\mbox{sen}(x)}{x^3}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos(x)-x\,\mbox{sen}(x)+b\cos(x)}{3x^2}=\frac{1+b}0

Para que este resultado no sea infinito, ha de ser 1+b=0, de donde b=-1. Siendo este el valor de b calculamos el valor del límite:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos(x)-x\,\mbox{sen}(x)-\cos(x)}{3x^2}=\frac 00=\\\\\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\mbox{sen}(x)-\mbox{sen}(x)-x\cos(x)+\mbox{sen}(x)}{6x}=\\\\=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\mbox{sen}(x)-x\cos(x)}{6x}=\frac 00=\\\\\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\cos(x)-\cos(x)+x\,\mbox{sen}(x)}6=\frac{-2}6=\frac{-1}3

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