Problema 186

Sean f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R y g:\mathbb R\rightarrow\mathbb R las funciones definidas mediante

f(x)=|x(x-2)|\quad\mbox{y}\quad g(x)=x+4.

a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.


Solución:

a) Escribimos la función f(x)=|x(x-2)| como una función a trozos:

f(x)=|x(x-2)|=\left\{\begin{array}{ccc}x(x-2)&\mbox{si}&x(x-2)\geq0\\-x(x-2)&\mbox{si}&x(x-2)<0\end{array}\right.

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x(x-2)&\mbox{si}&x\in(-\infty,0]\cup[2,+\infty)\\-x(x-2)&\mbox{si}&0<x<2\end{array}\right.

y=x(x-2) es una parábola convexa que pasa por los puntos (0,0) y (2,0). La función y=-x(x-2) es la simétrica de la anterior respecto al eje x cortando a dicho eje en los mismos puntos.

La otra función g(x)=x+4 es una recta creciente que corta al eje x en el punto (-4,0) y al eje y en el punto (0,4).

Para obtener donde se cortan ambas funciones, simplemente las igualamos:

x(x-2)=x+4\\\\x^2-3x-4=0\longrightarrow x=-1,\,x=4

De estas dos soluciones, las dos son válidas puesto que entran en el intervalo de definición de las dos funciones.

-x(x-2)=x+4\\\\-x^2+x-4=0

Esta última ecuación no tiene solución real. Luego, ambas funciones se cortan únicamente en los puntos (-1,3) y (4,8).

Con todos los datos aportados podemos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:

p186


b) La región cuyo área nos piden calcular es la zona gris. La expresión de la integral para calcular dicho área es la siguiente:

\displaystyle \int_{-1}^0(x+4)-(x(x-2))~dx+\int_0^2(x+4)-(-x(x-2)~dx+\int_2^4(x+4)-(x(x-2))~dx

Haremos estas tres integrales por separado y luego lo sumaremos todo.

\displaystyle \bullet\quad\int_{-1}^0(x+4)-(x(x-2))~dx=\int_{-1}^0-x^2+3x+4~dx=\\\\=\left[\frac{-x^3}3+\frac{3x^2}2+4x\right]_{-1}^0=(0)-\left(\frac 13+\frac 32-4\right)=\frac{13}6

\displaystyle \bullet\quad\int_0^2(x+4)-(-x(x-2)~dx=\int_0^2x^2-x+4~dx=\\\\=\left[\frac{x^3}3-\frac{x^2}2+4x\right]_0^2=\left(\frac 83-\frac 42+8\right)-(0)=\frac{26}3

\displaystyle \bullet\quad\int_2^4(x+4)-(x(x-2)~dx=\int_2^4-x^2+3x+4~dx=\\\\=\left[\frac{-x^3}3+\frac{3x^2}2+4x\right]_2^4=\left(\frac{-64}3+\frac{48}2+16\right)-\left(\frac{-8}3+\frac{12}2+8\right)=\frac{22}3

La suma de estas tres integrales es: \displaystyle \frac{109}6 u.a.

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