Sean 
a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
Solución:
a) Escribimos la función 
![f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x(x-2)&\mbox{si}&x\in(-\infty,0]\cup[2,+\infty)\\-x(x-2)&\mbox{si}&0<x<2\end{array}\right.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%28x%29%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dx%28x-2%29%26%5Cmbox%7Bsi%7D%26x%5Cin%28-%5Cinfty%2C0%5D%5Ccup%5B2%2C%2B%5Cinfty%29%5C%5C-x%28x-2%29%26%5Cmbox%7Bsi%7D%260%3Cx%3C2%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x(x-2)&\mbox{si}&x\in(-\infty,0]\cup[2,+\infty)\\-x(x-2)&\mbox{si}&0<x<2\end{array}\right.")
La otra función 
Para obtener donde se cortan ambas funciones, simplemente las igualamos:
De estas dos soluciones, las dos son válidas puesto que entran en el intervalo de definición de las dos funciones.
Esta última ecuación no tiene solución real. Luego, ambas funciones se cortan únicamente en los puntos (-1,3) y (4,8).
Con todos los datos aportados podemos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:
b) La región cuyo área nos piden calcular es la zona gris. La expresión de la integral para calcular dicho área es la siguiente:
Haremos estas tres integrales por separado y luego lo sumaremos todo.
![\displaystyle \bullet\quad\int_{-1}^0(x+4)-(x(x-2))~dx=\int_{-1}^0-x^2+3x+4~dx=\\\\=\left[\frac{-x^3}3+\frac{3x^2}2+4x\right]_{-1}^0=(0)-\left(\frac 13+\frac 32-4\right)=\frac{13}6](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cbullet%5Cquad%5Cint_%7B-1%7D%5E0%28x%2B4%29-%28x%28x-2%29%29%7Edx%3D%5Cint_%7B-1%7D%5E0-x%5E2%2B3x%2B4%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B-x%5E3%7D3%2B%5Cfrac%7B3x%5E2%7D2%2B4x%5Cright%5D_%7B-1%7D%5E0%3D%280%29-%5Cleft%28%5Cfrac+13%2B%5Cfrac+32-4%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B13%7D6&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle \bullet\quad\int_{-1}^0(x+4)-(x(x-2))~dx=\int_{-1}^0-x^2+3x+4~dx=\\\\=\left[\frac{-x^3}3+\frac{3x^2}2+4x\right]_{-1}^0=(0)-\left(\frac 13+\frac 32-4\right)=\frac{13}6")
![\displaystyle \bullet\quad\int_0^2(x+4)-(-x(x-2)~dx=\int_0^2x^2-x+4~dx=\\\\=\left[\frac{x^3}3-\frac{x^2}2+4x\right]_0^2=\left(\frac 83-\frac 42+8\right)-(0)=\frac{26}3](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cbullet%5Cquad%5Cint_0%5E2%28x%2B4%29-%28-x%28x-2%29%7Edx%3D%5Cint_0%5E2x%5E2-x%2B4%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D3-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D2%2B4x%5Cright%5D_0%5E2%3D%5Cleft%28%5Cfrac+83-%5Cfrac+42%2B8%5Cright%29-%280%29%3D%5Cfrac%7B26%7D3&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle \bullet\quad\int_0^2(x+4)-(-x(x-2)~dx=\int_0^2x^2-x+4~dx=\\\\=\left[\frac{x^3}3-\frac{x^2}2+4x\right]_0^2=\left(\frac 83-\frac 42+8\right)-(0)=\frac{26}3")
![\displaystyle \bullet\quad\int_2^4(x+4)-(x(x-2)~dx=\int_2^4-x^2+3x+4~dx=\\\\=\left[\frac{-x^3}3+\frac{3x^2}2+4x\right]_2^4=\left(\frac{-64}3+\frac{48}2+16\right)-\left(\frac{-8}3+\frac{12}2+8\right)=\frac{22}3](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cbullet%5Cquad%5Cint_2%5E4%28x%2B4%29-%28x%28x-2%29%7Edx%3D%5Cint_2%5E4-x%5E2%2B3x%2B4%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B-x%5E3%7D3%2B%5Cfrac%7B3x%5E2%7D2%2B4x%5Cright%5D_2%5E4%3D%5Cleft%28%5Cfrac%7B-64%7D3%2B%5Cfrac%7B48%7D2%2B16%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cfrac%7B-8%7D3%2B%5Cfrac%7B12%7D2%2B8%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B22%7D3&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle \bullet\quad\int_2^4(x+4)-(x(x-2)~dx=\int_2^4-x^2+3x+4~dx=\\\\=\left[\frac{-x^3}3+\frac{3x^2}2+4x\right]_2^4=\left(\frac{-64}3+\frac{48}2+16\right)-\left(\frac{-8}3+\frac{12}2+8\right)=\frac{22}3")
La suma de estas tres integrales es: 
♦