Sean y
las funciones definidas mediante
.
a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
Solución:
a) Escribimos la función como una función a trozos:
es una parábola convexa que pasa por los puntos (0,0) y (2,0). La función
es la simétrica de la anterior respecto al eje x cortando a dicho eje en los mismos puntos.
La otra función es una recta creciente que corta al eje x en el punto (-4,0) y al eje y en el punto (0,4).
Para obtener donde se cortan ambas funciones, simplemente las igualamos:
De estas dos soluciones, las dos son válidas puesto que entran en el intervalo de definición de las dos funciones.
Esta última ecuación no tiene solución real. Luego, ambas funciones se cortan únicamente en los puntos (-1,3) y (4,8).
Con todos los datos aportados podemos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:
b) La región cuyo área nos piden calcular es la zona gris. La expresión de la integral para calcular dicho área es la siguiente:
Haremos estas tres integrales por separado y luego lo sumaremos todo.
La suma de estas tres integrales es: u.a.
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