Problema 187

Sea M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&m+1&0\\1&1&m-1\end{pmatrix}.

a) Determina los valores de m para los que los vectores fila de M son linealmente independientes.

b) Estudia el rango de M según los valores de m.

c) Para m=1, calcula la inversa de M.


Solución:

a) Para que todas las filas sean linealmente independientes el determinante de M ha de ser distinta de 0.

\begin{vmatrix}1&0&-1\\0&m+1&0\\1&1&m-1\end{vmatrix}=(m+1)(m-1)+(m+1)=(m+1)(m-1+1)=(m+1)m

Determinante cuyas raíces son m=0 y m=-1. Por tanto, para que los vectores fila sean linealmente independientes ha de ser m≠0 y m≠-1.


b) Quedó claro en el apartado anterior que para m≠0 y m≠-1, el rango de M es 3.

  • Caso m=0. En este caso M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\1&1&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que encontramos \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}\neq0.
  • Caso m=-1. Tenemos la matriz M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\1&1&-2\end{pmatrix} cuyo rango también es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}\neq0.

c) Para m=1 tenemos la matriz M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&2&0\\1&1&0\end{pmatrix}. Para calcular la matriz inversa de M utilizamos la fórmula:

\displaystyle \boxed{M^{-1}=\frac 1{|M|}(\mbox{Adj}M)^t}

|M|=2

\mbox{Adj}M=\begin{pmatrix}0&0&-2\\-1&1&-1\\2&0&2\end{pmatrix}

\displaystyle M^{-1}=\frac 12\begin{pmatrix}0&-1&2\\0&1&0\\-2&-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1/2&1\\0&1/2&0\\-1&-1/2&1\end{pmatrix}

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