Problema 188

Sea r la recta que pasa por el punto (1,0,0) y tiene como vector dirección (a,2a,1) y sea s la recta dada por

\left\{\begin{array}{l}-2x+y=-2\\-ax+z=0\end{array}\right.

a) Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas.

b) Calcula, para a=1, la distancia entre r y s.


Solución:

a) Tenemos \vec v_r=(a,2a,1) y calculamos \vec v_r:

\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-2&1&0\\-a&0&1\end{vmatrix}=\vec\imath+2\vec\jmath+a\vec k=(1,2,a)

Para que \vec v_r\|\vec v_s se debe cumplir:

\dfrac a1=\dfrac{2a}2=\dfrac 1a

Ecuaciones cuyas soluciones son a=±1.


b) Sabemos que a=1. Para calcular la distancia de r a s, utilizamos la siguiente fórmula:

\boxed{d(r,s)=\dfrac{|\overrightarrow{P_rP_s}\times\vec v_r|}{|\vec v_r|}}

siendo P_r y P_s puntos cuales quiera de las rectas r y s respectivamente. Tenemos P_r=(1,0,0). Para calcular P_s hacemos, por ejemplo, z=0 y sustituimos ese valor en las ecuaciones implícitas de s para obtener las restantes variables:

\left\{\begin{array}{l}-2x+y=-2\\-x+z=0\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}-2x+y=-2\\-x=0\end{array}\right.

de donde resulta x=0 e y=-2. Por tanto, P_s=(0,-2,0).

\overrightarrow{P_rP_s}=(0,-2,0)-(1,0,0)=(-1,-2,0)

\overrightarrow{P_rP_s}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-1&-2&0\\1&2&1\end{vmatrix}=-2\vec\imath+\vec\jmath=(-2,1,0)

Ya podemos calcular la distancia:

d(r,s)=\dfrac{\sqrt{(-2)^2+1^2+0^2}}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt 6}=\sqrt{\dfrac 56}\mbox{ u.l.}

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