Problema 189

Sea f:(-\infty,1)\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x+2e^{-x}&\mbox{si}&x\leq 0\\a\sqrt{b-x}&\mbox{si}&0<x<1\end{array}\right.

a) Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio.

b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0.


Solución:

a) Para ser derivable en x=0 primero tiene que ser continua. Veamos bajo qué condiciones es f continua en x=0:

\displaystyle\bullet\lim_{x\rightarrow0^+}a\sqrt{b-x}=a\sqrt b\\\\\bullet\lim_{x\rightarrow0^-}x+2e^{-x}=2\\\\\bullet f(0)=0+2e^{-0}=2

Para que f sea continua en x=0 tiene que ser a\sqrt b=2.

Veamos ahora que tiene que ocurrir para que además sea derivable. Comenzamos por calcular la función derivada de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}1-2e^{-x}&\mbox{si}&x\leq0\\\dfrac{-a}{2\sqrt{b-x}}&\mbox{si}&0<x<1\end{array}\right.

\displaystyle\bullet\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-a}{2\sqrt{b-x}}=\frac{-a}{2\sqrt b}\\\\\bullet\lim_{x\rightarrow0^-}1-2e^{-x}=-1

Para que f sea derivable en x=0 ha de ser \dfrac{-a}{2\sqrt b}=-1. Tenemos ya el siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}a\sqrt b=2\\\dfrac{-a}{2\sqrt b}=-1\end{array}\right.

Cuyas solución es (a,b)=(2,1).


b) Las ecuaciones de las rectas tangente y normal son:

\boxed{\mbox{rt : }y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}\\\\\boxed{\mbox{rn : }y-f(x_0)=\dfrac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)}

donde x_0=0. Calculamos los restantes elementos necesarios:

f(0)=2\\\\f'(0)=-1

Por tanto:

\mbox{rt : }y-2=-1\cdot(x-0)\\\mathbf{y=-x+2}

\mbox{rn : }y-2=\dfrac{-1}{-1}\cdot(x-0)\\\mathbf{y=x+2}

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