Sea la función definida por
a) Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio.
b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0.
Solución:
a) Para ser derivable en x=0 primero tiene que ser continua. Veamos bajo qué condiciones es f continua en x=0:
Para que f sea continua en x=0 tiene que ser .
Veamos ahora que tiene que ocurrir para que además sea derivable. Comenzamos por calcular la función derivada de f:
Para que f sea derivable en x=0 ha de ser . Tenemos ya el siguiente sistema de ecuaciones:
Cuyas solución es .
b) Las ecuaciones de las rectas tangente y normal son:
donde . Calculamos los restantes elementos necesarios:
Por tanto:
♦