Problema 190

Sea g:\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por g(x)=\ln(x^2+1) (donde ln denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.


Solución:

La integral de esta función se resuelve por el método de integración por partes:

\displaystyle G(x)=\int\ln(x^2+1)~dx

\begin{array}{lcl}u=\ln(x^2+1)&\longrightarrow&du=\dfrac{2x}{x^2+1}~dx\\dv=dx&\longrightarrow&v=x\end{array}

\displaystyle \int\ln(x^2+1)~dx=x\ln(x^2+1)-\int\dfrac{2x^2}{x^2+1}~dx

Esta última integral es racional. Como el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, comenzamos por escribir la fracción en forma de cociente y resto:

\boxed{\dfrac{num}{den}=coc+\dfrac{res}{den}}

\dfrac{2x^2}{x^2+1}=2+\dfrac{-2}{x^2+1}

luego:

\displaystyle x\ln(x^2+1)-\int\dfrac{2x^2}{x^2+1}~dx=\\\\=x\ln(x^2+1)-\int 2~dx-\int\dfrac{-2}{x^2+1}~dx=\\\\=x\ln(x^2+1)-2x+2\int\dfrac 1{x^2+1}~dx=\\\\=x\ln(x^2+1)-2x+2\arctan(x)+k=G(x)

Sabemos que la primitiva pasa por el origen de coordenadas, es decir, G(0)=0:

G(0)=0\cdot\ln(0^2+1)-2\cdot0+2\arctan(0)+k=k=0

Luego la primitiva buscada es:

G(x)=x\ln(x^2+1)-2x+2\arctan(x)

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