Problema 190

Sea $g:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ la función definida por $g(x)=\ln(x^2+1)$ (donde ln denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Solución:

La integral de esta función se resuelve por el método de integración por partes:

$\displaystyle G(x)=\int\ln(x^2+1)~dx$

$\begin{array}{lcl}u=\ln(x^2+1)&\longrightarrow&du=\dfrac{2x}{x^2+1}~dx\\dv=dx&\longrightarrow&v=x\end{array}$

$\displaystyle \int\ln(x^2+1)~dx=x\ln(x^2+1)-\int\dfrac{2x^2}{x^2+1}~dx$

Esta última integral es racional. Como el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, comenzamos por escribir la fracción en forma de cociente y resto:

$\boxed{\dfrac{num}{den}=coc+\dfrac{res}{den}}$

$\dfrac{2x^2}{x^2+1}=2+\dfrac{-2}{x^2+1}$

luego:

$\displaystyle x\ln(x^2+1)-\int\dfrac{2x^2}{x^2+1}~dx=\\\\=x\ln(x^2+1)-\int 2~dx-\int\dfrac{-2}{x^2+1}~dx=\\\\=x\ln(x^2+1)-2x+2\int\dfrac 1{x^2+1}~dx=\\\\=x\ln(x^2+1)-2x+2\arctan(x)+k=G(x)$