Problema 191

Sea A=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.

a) Comprueba que A²=2I y calcula A⁻¹.

b) Calcula A²⁰¹³ y su inversa.


Solución:

a) Calculamos A²:

A^2=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I\mbox{ c.q.d.}

Calculamos A⁻¹ sabiendo que A⁻¹·A=I y que A²=2I de donde I=\dfrac 12A^2, entonces:

A^{-1}A=I\\\\A^{-1}A=\dfrac 12A^2\\\\2A^{-1}A=A^2\\\\2A^{-1}A-A^2=\underline0\\\\(2A^{-1}-A)A=\underline0

donde \underline 0 es la matriz nula de orden 2. La solución de esta ecuación matricial es:

2A^{-1}-A=\underline0\\\\2A^{-1}=A\\\\A^{-1}=\dfrac 12A=\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}


b) Calculamos potencias sucesivas hasta que veamos alguna propiedad:

A^0=I\\A^1=A\\A^2=2I\\A^3=A^2A=2IA=2A\\A^4=A^2A^2=2I2I=2^2I\\A^5=A^4A=2^2IA=2^2A\\A^6=A^4A^2=2^2I2I=2^3I

Podemos inferir que las potencias impares de A son proporcionales a A, y las potencias pares de A son proporcionales a I, de la siguiente manera:

A^i=2^{(i-1)/2}A\\\\A^p=2^{p/2}I

siendo i un número natural impar y p un número natural par. Si es cierto este resultado deberá serlo para las siguientes potencias. Calculamos si se comprueba para la potencia i+1 que sabemos que es igual a p:

A^{i+1}=A^{i}A=2^{(i-1)/2}A\cdot A=2^{(i-1)/2}A^2=\\\\=2^{(i-1)/2}2I=2^{\frac{i-1}2+1}I=2^{\frac{i+1}2}I=2^{p/2}I=A^p

También para la potencia p+1. Si i+1=p entonces p+1=i+2. En efecto:

A^{p+1}=A^pA=2^{p/2}IA=2^{\frac{i+1}2}A=A^{i+2}

Calculamos la potencia A^{2013} con exponente impar, luego:

A^{2013}=2^{\frac{2013-1}2}A=2^{1006}A

y su matriz inversa:

(A^{2013})^{-1}=(2^{1006}A)^{-1}=\dfrac 1{2^{1006}}A^{-1}

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