Sea .
a) Comprueba que A²=2I y calcula A⁻¹.
b) Calcula A²⁰¹³ y su inversa.
Solución:
a) Calculamos A²:
Calculamos A⁻¹ sabiendo que A⁻¹·A=I y que A²=2I de donde , entonces:
donde es la matriz nula de orden 2. La solución de esta ecuación matricial es:
b) Calculamos potencias sucesivas hasta que veamos alguna propiedad:
Podemos inferir que las potencias impares de A son proporcionales a A, y las potencias pares de A son proporcionales a I, de la siguiente manera:
siendo i un número natural impar y p un número natural par. Si es cierto este resultado deberá serlo para las siguientes potencias. Calculamos si se comprueba para la potencia i+1 que sabemos que es igual a p:
También para la potencia p+1. Si i+1=p entonces p+1=i+2. En efecto:
Calculamos la potencia con exponente impar, luego:
y su matriz inversa:
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