Problema 192

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considera los puntos P(2,3,1) y Q(0,1,1).

a) Halla la ecuación del plano π respecto del cual P y Q son simétricos.

b) Calcula la distancia de P a π.

Solución:

a) El plano buscado tiene por vector normal al vector que va de P a Q, y que pasa por el punto medio entre P y Q. Es decir:

\pi\equiv\left\{\begin{array}{ll}M=\frac{P+Q}2\\\vec n_\pi=\overrightarrow{QP}\end{array}\right.

M=\dfrac{P+Q}2=\dfrac{(2,3,1)+(0,1,1)}2=\dfrac{(2,4,2)}2=(1,2,1)

\vec n_\pi=\overrightarrow{QP}=(2,3,1)-(0,1,1)=(2,2,0)

Con el vector normal construimos parte de la ecuación implícita del plano buscado: \pi:~2x+2y+D=0

Para calcular D, imponemos que el plano pase por M:

2\cdot 1+2\cdot 2+D=2+4+D=0\\\\D=-6

El plano es 2x+2y-6=0 que simplificando resulta \pi:~x+y-3=0.

b) Como M es la proyección de P sobre el plano π, entonces d(P,\pi)=d(P,M), por tanto:

\overrightarrow{MP}=(2,3,1)-(1,2,1)=(1,1,0)\\\\|\overrightarrow{MP}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt 2

d(P,\pi)=d(P,M)=|\overrightarrow{MP}|=\sqrt 2\mbox{ u.l.}

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