Problema 193

Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima.


Solución:

Un alambre de 10 metros se divide en dos trozos: uno mide 3x metros y el otro mide 10-3x metros.

Con el alambre de 3x metros se construye un triángulo equilátero donde cada lado mide x metros. Se puede demostrar que el área S_t de un triángulo equilátero de lado a es:

\boxed{S_t=\dfrac{\sqrt 3a^2}4}

Por tanto, el área de nuestro triángulo es: S_t=\dfrac{\sqrt 3x^2}4

Por otra parte tenemos un cuadrado de perímetro 10-3x metros. Cada lado mide \dfrac{10-3x}4 metros, y el área del dicho cuadrado es S_c=\dfrac{(10-3x)^2}{16}

Con estas áreas construimos la función área

S(x)=S_t+S_c=\dfrac{\sqrt 3x^2}4+\dfrac{(10-3x)^2}{16}

que pretendemos optimizar.

Calculamos los puntos críticos de esta función:

S'(x)=\dfrac{2\sqrt 3x}4+\dfrac{2(10-3x)(-3)}{16}=\dfrac{4\sqrt 3x}8-\dfrac{3(10-3x)}8=0

4\sqrt 3x-3(10-3x)=0\\\\4\sqrt 3x-30+9x=0\\\\(4\sqrt 3+9)x=30\\\\x=\dfrac{30}{4\sqrt 3+9}

Veamos si este punto corresponde a un mínimo utilizando el test de la derivada segunda:

S''(x)=\dfrac{4\sqrt 3}8-\dfrac{3\cdot(-3)}8

Observamos que esta derivada es positiva para todo x, por tanto, se trata de un mínimo.

El trozo de alambre dedicado a construir el triángulo mide por tanto: 3x=\dfrac{90}{4\sqrt 3+9}\approx 5.65\mbox{ m}. Y el dedicado a construir el cuadrado:

10-3x=10-\dfrac{90}{4\sqrt 3+9}=\dfrac{40\sqrt 3+90-90}{4\sqrt 3+9}=\dfrac{40\sqrt 3}{4\sqrt 3+9}\approx 4.35\mbox{ m}

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