Problema 194

a) Determina la función f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R tal que f'(x)=(2x+1)e^{-x} y su gráfica pasa por el origen de coordenadas.

b) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0.


Solución:

a) Para obtener f integramos f´:

\displaystyle \int (2x+1)e^{-x}~dx

Para calcular esta integral utilizamos el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=2x+1&\longrightarrow&du=2~dx\\dv=e^{-x}~dx&\longrightarrow&v=-e^{-x}\end{array}

Por tanto:

\displaystyle \int (2x+1)e^{-x}~dx=-(2x+1)e^{-x}-\int -2e^{-x}~dx=\\\\=-(2x+1)e^{-x}-2e^{-x}+k

Por último, dicen que f pasa por el origen de coordenadas, lo cual significa que f(0)=0:

f(0)=-(2\cdot 0+1)e^{-0}-2e^{-0}+k=-1-2+k=0

de donde k=3. Por tanto, f(x)=-(2x+1)e^{-x}-2e^{-x}+3.


b) La ecuación de la recta tangente a una función f en un punto x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

Nos piden la recta tangente en x_0=0:

f(0)=0\\\\f'(0)=(2\cdot 0+1)e^{-0}=1

Sustituimos:

y-0=1(x-0)\\\\y=x

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