Problema 195

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\quad\mbox{y}\quad B=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\0&0&-1\end{pmatrix}.

a) Halla, si es posible, A⁻¹ y B⁻¹.

b) Halla el determinante de AB^{2013}A^t siendo A^t la matriz traspuesta de A.

c) Calcula la matriz X que satisface AX-B=AB.


Solución:

a) Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

|A|=\begin{vmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&0&2\end{vmatrix}=2

Por tanto A sí tiene inversa. Para calcularla utilizaremos la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac 1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}2&-2&0\\0&2&0\\-1&1&1\end{pmatrix}

A^{-1}=\dfrac 12\begin{pmatrix}2&0&-1\\-2&2&1\\0&0&1\end{pmatrix}

Veamos ahora la matriz B:

|B|=\begin{vmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\0&0&-1\end{vmatrix}=0

Por tanto, la matriz B no tiene inversa.


b) Hallar el determinante de AB^{2013}A^t. Para ello utilizaremos las propiedades de los determinantes.

|AB^{2013}A^t|\overset{P.3}=|A||B^{2013}||A^t|\overset{P.2}=|A||B^{2013}||A|\overset{P.3}=|A||B|^{2013}|A|=\\\\=2\cdot 0^{2013}\cdot 2=0


c) Comenzamos por despejar X en la ecuación matricial:

AX-B=AB\\\\AX=AB+B\\\\X=A^{-1}(AB+B)\\\\X=A^{-1}(A+I)B\\\\X=(I+A^{-1})B

siendo I la matriz identidad de orden 3.

X=\left(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}+\dfrac 12\begin{pmatrix}2&0&-1\\-2&2&1\\0&0&1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\0&0&-1\end{pmatrix}=\\\\=\dfrac 12\begin{pmatrix}4&0&-1\\-2&4&1\\0&0&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\0&0&-1\end{pmatrix}=\dfrac 12\begin{pmatrix}-4&4&5\\6&-6&1\\0&0&-3\end{pmatrix}

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