Problema 196

Considera el plano π de ecuación 2x+y+3z-6=0.

a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados.

b) Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano π y los planos coordenados.


Solución:

a) Primero calculamos los puntos donde el plano π corta a cada uno de los ejes coordenados:

A=\pi\cap\mbox{eje }x=\left\{\begin{array}{l}2x+y+3z-6=0\\y=0\\z=0\end{array}\right.\\\\B=\pi\cap\mbox{eje }y=\left\{\begin{array}{l}2x+y+3z-6=0\\x=0\\z=0\end{array}\right.\\\\C=\pi\cap\mbox{eje }z=\left\{\begin{array}{l}2x+y+3z-6=0\\x=0\\y=0\end{array}\right.

Resolviendo estos sistemas obtenemos los puntos que son: A=(3,0,0), B=(0,6,0), C=(0,0,2).

El área S del triángulo formado por estos tres puntos es: S=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2

\overrightarrow{AB}=(0,6,0)-(3,0,0)=(-3,6,0)\\\\\overrightarrow{AC}=(0,0,2)-(3,0,0)=(-3,0,2)

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-3&6&0\\-3&0&2\end{vmatrix}=12\vec\imath+18\vec k+6\vec\jmath=(12,6,18)

Luego S=\dfrac{\sqrt{12^2+6^2+18^2}}2=\dfrac{\sqrt{504}}2=3\sqrt{14}\mbox{ u.a.}


b) El volumen del tetraedro formado por los planos coordenados y el plano π es:

V=\dfrac 16|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]|

[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]=\begin{vmatrix}3&0&0\\0&6&0\\0&0&2\end{vmatrix}=36

Luego V=\dfrac 16|36|=6\mbox{ u.v.}

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