Problema 197

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II

Sea f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=\dfrac{2\ln(x)}{x^2} (donde ln denota el logaritmo neperiano).

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

Solución:

a) Para estudiar la monotonía de f comenzamos por calcular su derivada:

f'(x)=\dfrac{\dfrac 2{x}x^2-2\ln(x)2x}{x^4}=\dfrac{2x-4x\ln(x)}{x^4}=\dfrac{2-4\ln(x)}{x^3}

Calculamos los puntos críticos de f:

\dfrac{2-4\ln(x)}{x^3}=0\\\\2-4\ln(x)=0\\\\\ln(x)=1/2\\\\x=e^{1/2}=\sqrt e\approx 1.64

Con este punto crítico y teniendo en cuenta el dominio estudiamos la monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline &(0,\sqrt e)&(\sqrt e,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • Crece en (0,\sqrt e)
  • Decrece en (\sqrt e,+\infty).

En x=\sqrt e existe un máximo absoluto cuyas coordenadas son (\sqrt e,f(\sqrt e))=(\sqrt e,1/e).

b) Estudio de asíntotas:

  • Asíntota vertical:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{2\ln(x)}{x^2}=\dfrac{-\infty}{0^+}=-\infty

Existe por tanto una asíntota vertical con ecuación x=0.

  • Asíntota horizontal

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2\ln(x)}{x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}

Indeterminación que se resuelve utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2\ln(x)}{x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2/x}{2x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2}{2x^2}=0

También tiene, por tanto, asíntota horizontal y su ecuación es y=0. No tiene asíntota oblicua.

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