Sea la función definida por
.
a) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de g en el punto de abscisa x=4.
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta . Calcula el área de este recinto.
Solución:
a) La ecuación de la recta normal a una función g en un punto de abscisa es:
donde .
Sustituyendo:
b) La función es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava. Esta parábola tiene su vértice en
. El vértice es concretamente el punto (3,4).
Corta al eje x (y=0):
en los puntos (1,0) y (5,0), y corta al eje y (x=0):
Por otra parte, la función x-2y+2=0, es una función lineal, (la recta normal del apartado anterior, ), cuya gráfica es una recta creciente que corta a la función g en los puntos donde se iguala con ella:
Ecuación de segundo grado cuya solución es: x=1.5 y x=4. Por tanto, los puntos por donde pasa la recta y también corta a la parábola son: (1.5,1.75) y (4,3).
Con todos estos datos podemos esbozar una gráfica semejante a la siguiente figura:Nos piden ahora calcular el área S de la región limitada por la parábola y la recta:
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