Problema 198

Sea f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por g(x)=-x^2+6x-5.

a) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de g en el punto de abscisa x=4.

b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta x-2y+2=0. Calcula el área de este recinto.


Solución:

a) La ecuación de la recta normal a una función g en un punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y-g(x_0)=\dfrac{-1}{g'(x_0)}(x-x_0)}

donde x_0=4.

g(4)=-4^2+6\cdot4-5=-16+24-5=3\\\\g'(x)=-2x+6\longrightarrow g'(4)=-2\cdot 4+6=-8+6=-2

Sustituyendo:

y-3=\dfrac{-1}{-2}(x-4)\\\\y-3=\dfrac{x-4}2\\\\y=\dfrac{x-4}2+3\\\\y=\dfrac{x-4+6}2\\\\y=\dfrac{x+2}2


b) La función g(x)=-x^2+6x-5 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava. Esta parábola tiene su vértice en x_v=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-6}{-2}=3. El vértice es concretamente el punto (3,4).

Corta al eje x (y=0):

0=-x^2+6x-5\\\\x=1,\,x=5

en los puntos (1,0) y (5,0), y corta al eje y (x=0):

y=-5\rightarrow (0,-5)

Por otra parte, la función x-2y+2=0, es una función lineal, (la recta normal del apartado anterior,  y=\dfrac{x+2}2), cuya gráfica es una recta creciente que corta a la función g en los puntos donde se iguala con ella:

-x^2+6x-5=\dfrac{x+2}2\\\\-2x^2+12x-10=x+2\\\\-2x^2+11x-12=0

Ecuación de segundo grado cuya solución es: x=1.5 y x=4. Por tanto, los puntos por donde pasa la recta y también corta a la parábola son: (1.5,1.75) y (4,3).

Con todos estos datos podemos esbozar una gráfica semejante a la siguiente figura:p198Nos piden ahora calcular el área S de la región limitada por la parábola y la recta:

\displaystyle S=\int_{1.5}^4(-x^2+6x-5)-\left(\dfrac{x+2}2\right)~dx=\\\\=\int_{1.5}^{4}\dfrac{-2x^2+12x-10-x-2}2~dx=\\\\=\int_{1.5}^4\dfrac{-2x^2+11x-12}2~dx=\\\\=\frac 12\left[\frac{-2x^3}3+\frac{11x^2}2-12x\right]_{3/2}^4=\\\\=\frac 12\left[\left(\frac{-2\cdot 4^3}3+\frac{11\cdot 4^2}2-12\cdot 4\right)-\left(\frac{-2\cdot {1.5}^3}3+\frac{11\cdot{1.5}^2}2-12\cdot 1.5\right)\right]=\\\\=\frac 12\left[\frac{-8}3-\frac{-63}8\right]=\frac 12\cdot\frac{125}{24}=\frac{125}{48}\mbox{ u.a.}

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