Sea 
a) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de g en el punto de abscisa x=4.
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta 
Solución:
a) La ecuación de la recta normal a una función g en un punto de abscisa 
donde 
Sustituyendo:
b) La función 
Corta al eje x (y=0):
en los puntos (1,0) y (5,0), y corta al eje y (x=0):
Por otra parte, la función x-2y+2=0, es una función lineal, (la recta normal del apartado anterior, 
Ecuación de segundo grado cuya solución es: x=1.5 y x=4. Por tanto, los puntos por donde pasa la recta y también corta a la parábola son: (1.5,1.75) y (4,3).
Con todos estos datos podemos esbozar una gráfica semejante a la siguiente figura:
Nos piden ahora calcular el área S de la región limitada por la parábola y la recta:
![\displaystyle S=\int_{1.5}^4(-x^2+6x-5)-\left(\dfrac{x+2}2\right)~dx=\\\\=\int_{1.5}^{4}\dfrac{-2x^2+12x-10-x-2}2~dx=\\\\=\int_{1.5}^4\dfrac{-2x^2+11x-12}2~dx=\\\\=\frac 12\left[\frac{-2x^3}3+\frac{11x^2}2-12x\right]_{3/2}^4=\\\\=\frac 12\left[\left(\frac{-2\cdot 4^3}3+\frac{11\cdot 4^2}2-12\cdot 4\right)-\left(\frac{-2\cdot {1.5}^3}3+\frac{11\cdot{1.5}^2}2-12\cdot 1.5\right)\right]=\\\\=\frac 12\left[\frac{-8}3-\frac{-63}8\right]=\frac 12\cdot\frac{125}{24}=\frac{125}{48}\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_%7B1.5%7D%5E4%28-x%5E2%2B6x-5%29-%5Cleft%28%5Cdfrac%7Bx%2B2%7D2%5Cright%29%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cint_%7B1.5%7D%5E%7B4%7D%5Cdfrac%7B-2x%5E2%2B12x-10-x-2%7D2%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cint_%7B1.5%7D%5E4%5Cdfrac%7B-2x%5E2%2B11x-12%7D2%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac+12%5Cleft%5B%5Cfrac%7B-2x%5E3%7D3%2B%5Cfrac%7B11x%5E2%7D2-12x%5Cright%5D_%7B3%2F2%7D%5E4%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac+12%5Cleft%5B%5Cleft%28%5Cfrac%7B-2%5Ccdot+4%5E3%7D3%2B%5Cfrac%7B11%5Ccdot+4%5E2%7D2-12%5Ccdot+4%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cfrac%7B-2%5Ccdot+%7B1.5%7D%5E3%7D3%2B%5Cfrac%7B11%5Ccdot%7B1.5%7D%5E2%7D2-12%5Ccdot+1.5%5Cright%29%5Cright%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac+12%5Cleft%5B%5Cfrac%7B-8%7D3-%5Cfrac%7B-63%7D8%5Cright%5D%3D%5Cfrac+12%5Ccdot%5Cfrac%7B125%7D%7B24%7D%3D%5Cfrac%7B125%7D%7B48%7D%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\int_{1.5}^4(-x^2+6x-5)-\left(\dfrac{x+2}2\right)~dx=\\\\=\int_{1.5}^{4}\dfrac{-2x^2+12x-10-x-2}2~dx=\\\\=\int_{1.5}^4\dfrac{-2x^2+11x-12}2~dx=\\\\=\frac 12\left[\frac{-2x^3}3+\frac{11x^2}2-12x\right]_{3/2}^4=\\\\=\frac 12\left[\left(\frac{-2\cdot 4^3}3+\frac{11\cdot 4^2}2-12\cdot 4\right)-\left(\frac{-2\cdot {1.5}^3}3+\frac{11\cdot{1.5}^2}2-12\cdot 1.5\right)\right]=\\\\=\frac 12\left[\frac{-8}3-\frac{-63}8\right]=\frac 12\cdot\frac{125}{24}=\frac{125}{48}\mbox{ u.a.}")
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