Problema 199

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&-&4y&+&6z&=&6\\&&my&+&2z&=&m+1\\-3x&+&6y&-&3mz&=&-9\end{array}\right.

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Resuélvelo para m=3. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que y=0.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

M=\begin{pmatrix}2&-4&6\\0&m&2\\-3&6&-3m\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}2&-4&6&6\\0&m&2&m+1\\-3&6&-3m&-9\end{pmatrix}

Empezamos por calcular el rango de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}2&-4&6\\0&m&2\\-3&6&-3m\end{vmatrix}=-6m^2+24+18m-24=-6m^2+18m=6m(-m+3)

Determinante cuyas raíces son m=0 y m=3.

  • Si m≠0 y m≠3, rg(M)=3=rg(M*)=n, y se tiene un sistema compatible determinado.
  • Si m=0, M=\begin{pmatrix}2&-4&6\\0&0&2\\-3&6&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}0&2\\6&0\end{vmatrix}\neq0. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada en este caso:

\begin{vmatrix}-4&6&6\\0&2&1\\6&0&-9\end{vmatrix}=36

Luego, para m=0, rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.

  • Si m=3, M=\begin{pmatrix}2&-4&6\\0&3&2\\-3&6&-9\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&-4\\0&3\end{vmatrix}\neq0. Calculemos el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}2&-4&6\\0&3&4\\-3&6&-9\end{vmatrix}=0

por tanto, el rango de M* es 2 y el sistema compatible indeterminado.


b) Para m=3, solo hay dos ecuaciones linealmente independientes, como demostramos en el apartado anterior, luego el sistema original es equivalente a:

\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&-&4y&+&6z&=&6\\&&3y&+&2z&=&4\end{array}\right.

Para resolverlo hacemos el cambio z=\lambda:

\left\{\begin{array}{ccccc}2x&-&4y&=&6-6\lambda\\&&3y&=&4-2\lambda\end{array}\right.

de donde y=\dfrac{4-2\lambda}3 y sustituyendo en la primera ecuación:

2x=6-6\lambda+4\cdot \dfrac{4-2\lambda}3\\\\2x=\dfrac{18-18\lambda+16-8\lambda}3\\\\x=\dfrac{34-26\lambda}6

La solución del sistema es para el caso m=3:

\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{17-13\lambda}3\\y=\dfrac{4-2\lambda}3\\z=\lambda\end{array}\right.

Para que una de las soluciones tenga y=0:

0=\dfrac{4-2\lambda}3\\\\\lambda=2

por lo que z=2 y x=\dfrac{17-26}3=-3. Es decir, la solución es (x,y,z)=(-3,0,2).

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