Problema 199

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

$\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&-&4y&+&6z&=&6\\&&my&+&2z&=&m+1\\-3x&+&6y&-&3mz&=&-9\end{array}\right.$

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Resuélvelo para m=3. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que y=0.

Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

$M=\begin{pmatrix}2&-4&6\\0&m&2\\-3&6&-3m\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}2&-4&6&6\\0&m&2&m+1\\-3&6&-3m&-9\end{pmatrix}$

Empezamos por calcular el rango de la matriz de coeficientes:

$\begin{vmatrix}2&-4&6\\0&m&2\\-3&6&-3m\end{vmatrix}=-6m^2+24+18m-24=-6m^2+18m=6m(-m+3)$

Determinante cuyas raíces son m=0 y m=3.

Si m≠0 y m≠3, rg(M)=3=rg(M*)=n, y se tiene un sistema compatible determinado.
Si m=0, $M=\begin{pmatrix}2&-4&6\\0&0&2\\-3&6&0\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}0&2\\6&0\end{vmatrix}\neq0$ . Veamos cual es el rango de la matriz ampliada en este caso:

$\begin{vmatrix}-4&6&6\\0&2&1\\6&0&-9\end{vmatrix}=36$

Luego, para m=0, rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.

Si m=3, $M=\begin{pmatrix}2&-4&6\\0&3&2\\-3&6&-9\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}2&-4\\0&3\end{vmatrix}\neq0$ . Calculemos el rango de la matriz ampliada:

$\begin{vmatrix}2&-4&6\\0&3&4\\-3&6&-9\end{vmatrix}=0$

por tanto, el rango de M* es 2 y el sistema compatible indeterminado.

b) Para m=3, solo hay dos ecuaciones linealmente independientes, como demostramos en el apartado anterior, luego el sistema original es equivalente a:

$\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&-&4y&+&6z&=&6\\&&3y&+&2z&=&4\end{array}\right.$