Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,
a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.
b) Resuélvelo para m=3. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que y=0.
Solución:
a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:
Empezamos por calcular el rango de la matriz de coeficientes:
Determinante cuyas raíces son m=0 y m=3.
- Si m≠0 y m≠3, rg(M)=3=rg(M*)=n, y se tiene un sistema compatible determinado.
- Si m=0,
cuyo rango es 2 ya que
. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada en este caso:
Luego, para m=0, rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.
- Si m=3,
cuyo rango es 2 ya que
. Calculemos el rango de la matriz ampliada:
por tanto, el rango de M* es 2 y el sistema compatible indeterminado.
b) Para m=3, solo hay dos ecuaciones linealmente independientes, como demostramos en el apartado anterior, luego el sistema original es equivalente a:
Para resolverlo hacemos el cambio :
de donde y sustituyendo en la primera ecuación:
La solución del sistema es para el caso m=3:
Para que una de las soluciones tenga y=0:
por lo que z=2 y . Es decir, la solución es
.
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