Problema 200

Considera los puntos A(1,0,2), B(-1,3,1), C(2,1,2) y D=(1,0,4).

a) Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C.

b) Halla el punto simétrico de D respecto del plano x-y-5z+9=0.


Solución:

a) Para construir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores. En nuestro caso:

\pi\equiv\left\{\begin{array}{l}A=(1,0,2)\\\overrightarrow{AB}=(-1,3,1)-(1,0,2)=(-2,3,-1)\\\overrightarrow{AC}=(2,1,2)-(1,0,2)=(1,1,0)\end{array}\right.

\begin{vmatrix}x-1&y&z-2\\-2&3&-1\\1&1&0\end{vmatrix}=-y-2(z-2)-3(z-2)+x-1=x-y-5(z-2)-1=x-y-5z+10-1=x-y-5z+9

El plano buscado es: \pi:x-y-5z+9=0


b) Primero construimos una recta r perpendicular a π que pase por D:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}D=(1,0,4)\\\vec v_r=(1,-1,-5)\end{array}\right.\\\\r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=-\lambda\\z=4-5\lambda\end{array}\right.

A continuación calculamos el punto M donde r se corta con π, para ellos sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

1+\lambda-(-\lambda)-5(4-5\lambda)+9=0\\\\1+\lambda+\lambda-20+25\lambda+9=0\\\\27\lambda=10\\\\\lambda=\dfrac{10}{27}

 

Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de la recta y obtenemos el punto M:

M=(\frac{37}{27},\frac{-10}{27},\frac{58}{27})

El simétrico de D es:

M=\dfrac{D+D'}2\\\\D'=2M-D=2(\frac{37}{27},\frac{-10}{27},\frac{58}{27})-(1,0,4)\\\\D'=(\frac{47}{27},\frac{-20}{27},\frac 8{27})

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