Problema 201

Sea g la función definida por g(x)=\dfrac{mx^3}{(x-n)^2} para x≠n.

a) Halla m y n sabiendo que la recta y=2x-4 es una asíntota de la gráfica de g.

b) Determina si la gráfica de g es simétrica respecto al origen.


Solución:

a) Sabemos que la recta y=2x-4 es asíntota oblicua de la función g. Recordamos que las asíntotas oblicuas de una función f son de la forma y=ax+b donde:

\displaystyle \boxed{a=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f(x)}x}

\displaystyle \boxed{b=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)-ax}

En nuestro caso, sabemos que a=2 y b=-4, entonces:

\displaystyle 2=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{\dfrac{mx^3}{(x-n)^2}}{x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{mx^3}{(x^2-2nx+n^2)x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{mx^3}{x^3}=m

de donde m=2.

\displaystyle -4=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{mx^3}{(x-n)^2}-2x\overset{m=2}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2x^3-2x(x-n)^2}{(x-n)^2}=\\\\=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2x^3-2x(x^2-2nx+n^2)}{x^2-2nx+n^2}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2x^3-2x^3+4nx^2-2n^2x}{x^2-2nx+n^2}=\\\\=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{4nx^2-2n^2x}{x^2-2nx+n^2}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{4nx^2}{x^2}=4n

de donde n=-1.


b) Para los valores anteriores de m y n, la función es

g(x)=\dfrac{2x^3}{(x+1)^2}

Calculamos g(-x) para ver el tipo de simetría que presenta:

g(-x)=\dfrac{2(-x)^3}{(-x+1)^2}=\dfrac{-2x^3}{(-x+1)^2}

Este resultado es distinto de g(x) por lo que no presenta simetría par, y es distinto de -g(x) por lo que tampoco presenta simetría impar.

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