Problema 202

De la función f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=ax^3+bx^2+cx+d se sabe que alcanza un máximo relativo en x=1, que la gráfica tiene un punto de inflexión en (0,0) y que \displaystyle \int_0^1f(x)~dx=\frac 54. Calcula a, b, c y d.


Solución:

Tenemos que obtener el valor de cuatro incógnitas, por lo que necesitaremos tener cuatro ecuaciones para poder resolver el problema.

Dice que la función alcanza un máximo en x=1. Eso significa que f'(1)=0.

Tiene un punto de inflexión en (0,0), lo cual significa dos cosas:

  • f(0)=0
  • f''(0)=0

Tenemos ya tres ecuaciones. La cuarta ecuación nos lo da el dato de la integral:

\displaystyle \int_0^1ax^3+bx^2+cx+d~dx=\left[\frac{ax^4}4+\frac{bx^3}3+\frac{cx^2}2+dx\right]_0^1=\\\\=\left(\frac{a}4+\frac{b}3+\frac{c}2+d\right)-(0)=\frac{3a+4b+6c+12d}{12}=\frac 54

Escribimos todas las ecuaciones:

f(0)=a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d=d=0\\\\f'(x)=3ax^2+2bx+c\rightarrow f'(1)=3a+2b+c=0\\\\f''(x)=6ax+2b\rightarrow f''(0)=2b=0

\left\{\begin{array}{l}\dfrac{3a+4b+6c+12d}{12}=\dfrac 54\\d=0\\3a+2b+c=0\\2b=0\end{array}\right.

Sistema cuya solución es \mathbf{d=0,\,b=0,\,a=-1,\,c=3}.

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