Problema 202

De la función $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ definida por $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ se sabe que alcanza un máximo relativo en x=1, que la gráfica tiene un punto de inflexión en (0,0) y que $\displaystyle \int_0^1f(x)~dx=\frac 54$ . Calcula a, b, c y d.

Solución:

Tenemos que obtener el valor de cuatro incógnitas, por lo que necesitaremos tener cuatro ecuaciones para poder resolver el problema.

Dice que la función alcanza un máximo en x=1. Eso significa que $f'(1)=0$ .

Tiene un punto de inflexión en (0,0), lo cual significa dos cosas:

$f(0)=0$
$f''(0)=0$

Tenemos ya tres ecuaciones. La cuarta ecuación nos lo da el dato de la integral:

$\displaystyle \int_0^1ax^3+bx^2+cx+d~dx=\left[\frac{ax^4}4+\frac{bx^3}3+\frac{cx^2}2+dx\right]_0^1=\\\\=\left(\frac{a}4+\frac{b}3+\frac{c}2+d\right)-(0)=\frac{3a+4b+6c+12d}{12}=\frac 54$