Problema 203

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}-1&1&0\\2&0&0\\1&0&1\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}0&2&1\\1&2&0\end{pmatrix},~C=\begin{pmatrix}1&2\\-1&6\end{pmatrix}

a) Halla A⁻¹.

b) Calcula la matriz X que satisface AX=B^tC (B^t es la matriz traspuesta de B).

c) Halla el determinante de A^{2013}B^tB(A^{-1})^{2013}.


Solución:

a) La matriz inversa se calcula con la siguiente fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac 1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}-1&1&0\\2&0&0\\1&0&1\end{vmatrix}=-2

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}0&-2&0\\-1&-1&1\\0&0&-2\end{pmatrix}

A^{-1}=\begin{pmatrix}0&1/2&0\\1&1/2&0\\0&-1/2&1\end{pmatrix}


b) Despejamos la matriz X y calculamos:

AX=B^tC\\\\X=A^{-1}B^tC

X=\begin{pmatrix}0&1/2&0\\1&1/2&0\\0&-1/2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\2&2\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\-1&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\-1&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&8\\-1&14\\1&-6\end{pmatrix}


c) Para hallar el determinante utilizamos las propiedades de los determinantes:

|A^{2013}B^tB(A^{-1})^{2013}|\overset{P.3}=|A^{2013}||B^tB||(A^{-1})^{2013}|=\\\\\overset{P.3}=|A|^{2013}|B^tB||A^{-1}|^{2013}= |A|^{2013}|B^tB|\dfrac 1{|A|^{2013}}=|B^tB|

Vamos a calcular el determinante de B^tB:

\begin{pmatrix}0&1\\2&2\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2&1\\1&2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&8&2\\0&2&1\end{pmatrix}

El determinante buscado es:

|A^{2013}B^tB(A^{-1})^{2013}|=|B^tB|=\begin{vmatrix}1&2&0\\2&8&2\\0&2&1\end{vmatrix}=0

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